道路照明优化问题.doc

数学建模竞赛论文 题目：道路照明的优化问题 姓名 学院 专业班级 联系方式 队员1 队员2 队员3 道路照明的优化问题 摘要：本问题主要针对道路两盏路灯照明的实际问题，建立数学模型，利用MATLAB程序，求出方程组最值，从而得到连线路面上最小照明强度点以及优化道路照明方案。 关键词：道路照明 数学模型 MATLAB程序 最值 一、问题重述： 两盏路灯照明的一条水平道路如图所示，其中 是路灯的亮度，是灯的高度，两盏路灯的坐标分别是和，其中是两灯之间的水平距离。令是两灯之间道路上的一点， 建立数学模型找出具有最小照明强度的点； 如何改变第二盏灯的高度以极大化点的照明强度； 调整两盏灯的高度来优化道路照明，给出你的优化方案 。 二、模型假设： 假设路灯的光照强度。 假设路灯工作正常。 假设路灯的发光强度相同，型号相同。 道路路面照度不受周围环境影响，仅由路灯提供光照。 其他物体对路灯的遮挡影响忽略不计。 6. 假设两路灯在道路上的照射半径长度之和刚好为s。 7. 假设把两只路灯连线的路面看做一条直线。 8. 假设忽略其他因素对路灯光照强度的影响。 9. 假设把两个路灯看为质点。 三、变量说明： -------------路灯的功率 -------------路灯的垂直高度 -------------路灯到路面上某点的距离 -------------路灯光线与路面的夹角 -------------路灯的光照强度 k--------------路灯光照强度系数 S--------------道路宽度 x--------------路面上的点到O点的距离 -------------最低照明强度 -----------路面上某 点的光照强度 四、问题分析: 以第一个路灯为坐标原点建立直角坐标系，利用光照强度公式建立方程，利用MATLAB程序求出最小值。 以x、为未知量，建立方程，利用MATLAB程序求出最大值。 改变、的值，找到最优解，使得路灯既满足照明需求，有不会使能源浪费。 五、模型建立： 解：（1）根据光照强度公式 得：两个路灯在点x处光照强度分别为 记 ，由图可知有以下结论： 由得到X点的照度为 （0xs) 要求X点照明强度最小值既求最小值。 令 求出驻点并与区间端点的函数值进行比较，就可以得到的最小值。利用MATLAB软件，程序如下solve(-3*P1*h1*X/(P1*P1+X^2)^5/2+3*P2*h2*(s-X)/(h2*h2+(s-X)^2)^5/2=0,X) 结果如下： X=RootOf(P2*h2*z^11 + h1*P1*z^11 - P2*h2*s*z^10 - 10*h1*P1*s*z^10 + 45*h1*P1*s^2*z^9 + 5*P1^2*P2*h2*z^9 + 5*h1*P1*h2^2*z^9 - 5*P1^2*P2*h2*s*z^8 - 40*h1*P1*h2^2*s*z^8 - 120*h1*P1*s^3*z^8 + 140*h1*P1*h2^2*s^2*z^7 + 210*h1*P1*s^4*z^7 + 10*P1^4*P2*h2*z^7 + 10*h1*P1*h2^4*z^7 - 280*h1*P1*h2^2*s^3*z^6 - 10*P1^4*P2*h2*s*z^6 - 60*h1*P1*h2^4*s*z^6 - 252*h1*P1*s^5*z^6 + 350*h1*P1*h2^2*s^4*z^5 + 150*h1*P1*h2^4*s^2*z^5 + 210*h1*P1*s^6*z^5 + 10*P1^6*P2*h2*z^5 + 10*h1*P1*h2^6*z^5 - 280*h1*P1*h2^2*s^5*z^4 - 200*h1*P1*h2^4*s^3*z^4 - 10*P1^6*P2*h2*s*z^4 - 40*h1*P1*h2^6*s*z^4 - 120*h1*P1*s^7*z^4 + 150*h1*P1*h2^4*s^4*z^3 + 140*h1*P1*h2^2*s^6*z^3 + 60*h1*P1*h2^6*s^2*z^3 + 45*h1*P1*s^8*z^3 + 5*P1^8*P2*h2*z^3 + 5*h1*P1*h2^8*z^3 - 60*h1*P1*h2^4*s^5*z^2 - 40*h1*P1*h2^6*s^3*z^2 - 40*h1*P1*h2^2*s^7*z^2 - 5*P1^8*P2*h2*s*z^2 - 10*h1*P1*h2^8*s*z^2 - 10*h1*P1*s^9*z^2 + 10*h1*P1*h2^6*s^4*z + 10*h1*P1*h2^4*s^6*z + 5*h1*P1*h2