第5讲 线性振动的近似计算方法.ppt

《振动力学》 里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为若干个独立的假设模态的线性组合： 元素待定 代入瑞利商： 由于 在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元素应当从下式确定： 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 瑞利商： 代入： 其中 是 r 阶单位矩阵的第 j 列 上面 r 个方程可合成为： 表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量。 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 瑞利商： 同理，有： 两项代入： 可写为： 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 由于 的阶数 r 一般远小于系统自由度数 n，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多 。 因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度以求解固有振动的近似方法。 就是自由度缩减为 r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵 。 可求出 r 个特征根 及相应的特征向量 原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为： 相应的前 r 阶主振型近似取为： 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 正交性分析 得出的近似主振型式关于矩阵 M 和 K 相互正交 。 时 成立 同理，有： 因此： 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 例：三自由度系统（教材P106算例） 采用常规方法，固有频率： 采用邓克利法，基频： 将假设的振型取为： m m k k 2m 2k 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 采用瑞利法，基频： 将假设的振型取为： 缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵： 特征值问题： 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 固有频率： 主振型： 和 是主振型归一化时产生的常数，不必考虑 。 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 固有频率： 主振型： 固有频率精确值： 主振型精确值： 采用邓克利法，基频： 采用瑞利法，基频： 里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳 。 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 例: 下图表示一等直径的圆轴，左端紧固，求轴自由扭转振动的一阶固有频率和振型。 等直圆轴扭转振动模型 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 解：把圆轴沿轴向平均划分为7段，把每一段轴的转动惯量 平均向两端集聚，于是均匀连续的轴变为七个集中的圆盘，最右边的那个圆盘转动惯量为 ,其余六个圆盘均为J。 相邻圆盘间用无重的弹性扭转轴联系，扭转刚度为kt。这样的扭转系统与前面讲的多自由度弹簧-质量系统是类似的。 等直圆轴扭转振动模型 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 质量矩阵和刚度矩阵分别为: 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 因为扭转轴自由端变位最大，于是可假设 于是有 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 于是得到新的特征问题： 根据材料力学，每一小段轴的扭转刚度和转动惯量分别为： 令 则经过简化后的迭代方程为 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 得到特征方程为 对应的特征向量为 得到用里兹法估算的系统固有频率为: 精确解为 计算结果，一阶频率误差仅0.13％，精度是较好的。 线性振动的近似计算方法 / 里兹法 * * 第五章 线性振动的近似计算方法 模态叠加法 物理空间 耦合 主模态空间 解耦 物理空间 耦合 正则模态空间 解耦 多自由度系统振动 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题。 缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大。 线性振动的近似计算方法 (a) 全局 (b) 第一阶主谐波共振 仿真梁非线性模型受迫振动的稳态幅频响应 (c)第二阶主谐波共振 (d)第三阶主谐波共振 通常情况下，工程中只有前几阶频率和模态最受关注。如下例，梁的非线性受迫振动稳态幅频响应： 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算。 邓克利法 瑞利法 里茨法 矩阵迭代法 子空间迭代法 传递矩阵法 线性振动的近似计算方法 邓克利法 - 由邓克利（Dunkerley）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的。 - 便于作为系统基频的计算公式。 自由振动作用力方程： 左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程： 定义D=FM 为系统的动力矩阵： 作用力方程的特征值问题