电路分析的基本方法及定理.DOC

§2-8 叠加定理 在线性电路中，若干独立电源共同作用下的任意支路电流或电压等于当每个独立电源单独作用情下下，在该支路产生的电流或电压的代数和，称为叠加定理。 现以图2-8-1（a）所示电路为例来说明叠加定理。由网孔电流方程知： 由上两式知，均由两项组成，一项由产生，一项由产生。不难看出，这两项可由图2-8-1（b）（c）求出，即。可表示为：，，其中都是常系数，由电路的参数及其结构决定，具有电导的量纲，无量纲，为纯系数。 下面对叠加定理进行证明。假设任意一个具有n个节点、b条支路的线性电路，对个独立节点列写节点电压方程（先假设电路中无受控源）如下： （式2-8-1） 利用克莱姆法则，节点电压为： （式2-8-2） 式中是式（2-8-1）左边的系数行列式，即 是的元素的余因式，（在中划去第行第列后剩下的余子式）。 若电路中含有p个独立电压源、q个独立电流源，将（式2-8-2）每项展开再整理合并，得到： （式2-8-3） （式2-8-3）说明节点电压是各独立源分别单独作用在节点k上产生的电压代数和，即节点电压可以叠加。由于各支路电压是节点电压的线性组合，所以支路电压也可以叠加。由于各支路电流又是各支路电压的线性组合，所以支路电流也可以叠加。 当电路中含有受控源时，暂将受控源作为独立源列写节点电压方程，与（式2-8-1）不同的是方程组右边含有各受控源项，将各受控源的控制量用节点电压表示，然后再代入节点电压方程组，结果方程仍具有（式2-8-1）的形式，只不过方程左边的各系数中含有受控源的控制系数，它们与电路参数形成了新的方程的右边仍然只有独立电压源和独立电流源，故在含受控源的线性电路中，各支路电流（或电压）仍等于各独立源单独作用情况下的支路电流（或电压）的叠加。 从（式2-8-3）可知，式中的每一项只与一个独立电源有关，这正好说明了每一项所代表的就是只保留一个独立电源单独作用，令其他独立电源为零（即将独立电压源所在支路短接、独立电流源所在支路开路）时单一电源所产生的支路电流（或电压）。各个独立电源分别作用于电路所产生的支路电流（或电压）的代数和就是所有独立源共同作用于电路所产生的支路电流（或电压）。 在线性电路中，当单一电源单独作用于电路，电路的各支路电流（或电压）都正比于该电源的大小。单一电源的大小增减K倍，各支路电流（或电压）亦随之增减K倍，这一性质称为线性电路的齐次性（或比例性）。当一组独立电源作用于电路在各支路所产生的电流（或电压）为（或），另一组独立电源作用于电路在各支路所产生的电流（或电压）为（或），那么两组电源共同作用在各支路所产生的电流Ik（或电压Uk）是上述两者的叠加，即（或），这一性质称为线性电路的可加性，所以叠加定理是线性电路具有齐次性和可加性的综合反映，是线性电路的一种基本属性。 叠加定理的价值不在于用来求解具体电路中的支路电流或电压，更主要地体现在它的理论意义上。在后面的戴维南定理、非正弦电路和过渡过程等章节都要用到叠加定理。由于电路的功率不与电流或电压成线性关系，因而电路的功率不能叠加。 例2-8-1 如图2-8-2所示电路，各电阻和受控源的控制系数均未知，已知：当 时，；当时，；当时，；求当时， 解：根据叠加定理，为独立源分别单独作用产生的三个分量相加，根据（式2-8-3）得到： 式中都是常数，代入已知条件得： 解得： 于是，当时， 例2-8-2 图2-8-3 所示的电路中，方框A表示任意的线性有源电路。现保持方框内电源不变，改变的大小。已知时，；时，。试问时，I为多大？ 解：将电路中的独立源分为两组，一组是，另一组为方框A内所有的独立源，而方框A内电源不变，根据（式2-8-3）可得： 式中为方框内全部电源共同作用产生的电流，与的大小无关，g，均为常数，代入已知条件后得： 解得： 当时， 第二章 2-2 图2-8-3 例2-8-2附图 图2-8-2例2-8-1附图 图2-8-1