线性代数经管类练习题.DOC

02198 线性代数 复习资料 一、线性代数的基础内容： 1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则； 2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤 4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为；存在使；所有特征值大于零) 第一章 行列式 关键字：行列式的概念和基本性质　行列式按行（列）展开定理 克莱默法则 一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由个数组成的阶行列式是一个算式，特别当时，定义；当 ，其中，是中去掉第1行第列全部元素后按照原顺序拍成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式。 中所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线 2．阶行列式的性质 a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变； b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即 ， 其中，是中去掉第行第列全部元素后按照原顺序排成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式； c)线性性质——加法和数乘； 推论：某行元素全为零的行列式其值为 d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0； 推论：行列式中两行对应成比例，其值为0 e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变； f)行列式的两行互换，行列式的值反号 g)行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为0。 3．计算行列式，利用行列式的性质。(需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值) 计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等 二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组，其系数行列式：，这方程组有唯一解。其中是用常数项替换中第列所成的行列式。 推论：若齐次线性方程组的系数行列式，则方程组只有零解， 第二章 矩阵 一、矩阵相关概念：数域中个数排成行列，并扩以圆括弧(或方括弧)的数表，称为数域上的矩阵，通常用大写字母记做，其中称为矩阵的第行第列元素。时为实矩阵，时为复矩阵；个元素全为0的矩阵称为零矩阵；时称为方阵(或为阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为。 【注】矩阵与行列式的区别：行列式是一个算式，是一个值；矩阵是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为或。若，称为奇异矩阵；若，称为非奇异矩阵。 二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换 1、1)如果两个矩阵和的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即，就称和相等，记做 2)加法：设和，规定，并称为和之和。 【注】i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同； ii)矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法) 3)数乘：设是数域中任意的一个数，，规定 【注】i)矩阵数乘指乘的每一个元素按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式，若是阶方阵，则；ii）矩阵数乘满足以下运算律： 4)乘法：设是一个矩阵，是一个矩阵，则和的乘积(记作)是一个矩阵，且，即的第行第列元素是第行个元素与第列个元素分别相乘的乘积之和 【注】a)矩阵乘法满足：