步步高2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第5讲 双曲线含解析新人教A版.doc

第讲 一、选择题 ．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2. 答案　C 2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)． A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　不妨设a0，b0，c＝. 据题意，2c＝10，c＝5. 双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，1＝. 由解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A. 答案　A 3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)． A．－2 B．－ C．1 D．0 解析　设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝42－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2，选A. 答案　A ．过双曲线－＝1(a0，b0)的左焦点F(－c,0)(c0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＋＝2，则双曲线的离心率为(　　)．A. B. C. D. 解析　设双曲线的右焦点为A，则＝－，故＋＝－＝＝2，即OE＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在RtAPF中，a2＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝ ＝，选C. 答案　C ．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)． A. B．4 C．3 D．5 解析　易求得抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，b2＝5，双曲线的渐近线方程为y＝±x，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝. 答案　A．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1＝SIPF2＋λSIF1F2成立，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 解析 根据SIPF1＝SIPF2＋λSIF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，即2a＝λ2c，即λ＝＝. B 二、填空题 ．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________． 解析 由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝. 答案 ．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________． 解析　由题意得m＞0，a＝，b＝. c＝，由e＝＝，得＝5， 解得m＝2. 答案　2．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)， 解得 双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案　x2－＝1 ．如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则 (1)双曲线的离心率e＝________； (2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________. 解析　(1)由题意可得a ＝bc，a4－3a2c2＋c4＝0，e4－3e2＋1＝0，e2＝，e＝. (2)设sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝. 答案　(1)　(2)三、解答题 ．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程； (2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值． 解　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n， 则 解得a＝7，m＝3.b＝6，n＝2. 椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. (2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2， cos∠F1PF2＝ ＝＝. ．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为