刚体之半圆圈的质心与转动惯量.ppt

{范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量 如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？ [解析](1)由于对称的缘故半圆圈的质心在y轴上。 半圆圈的面积为S = π(R2 – R02)/2， 在半圆圈中取一面积元ds = rdθdr， 质量面密度为 其质量为dm = σds = σrdθdr， 到转动轴x的距离为y = rsinθ， 质心纵坐标为 M y r ds R O z x θ R0 {范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量 如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？ 当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半圆环的质心坐标为 当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘的质心坐标为 比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘，由于圆环质量的分布离x轴比较远，其质心高度比较高。 质心纵坐标为 M y R O z x 当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈的质心高度随厚度的减小而增加。 半圆盘的质心高度为0.424R，半圆环的质心高度为0.637R。 {范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量 如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？ 半圆圈绕y轴的转动惯量为 半圆圈绕z轴的转动惯量为 [解析](2)半圆圈绕x轴的转动惯量为 M y r ds R O z x θ R0 这是正交轴定理。 因此 {范例4.3} 半圆圈的质心和转动惯量 如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？ 半圆圈绕x轴和y轴的转动惯量为 半圆圈绕z轴的转动惯量为 Jz是Jx和Jy的两倍，只要讨论Jz就行了。 当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘绕z轴的转动惯量为 当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半圆环绕z轴的转动惯量为Jz = MR2。 这是因为半圆环上所有点与z轴的距离都是R。 M y R O z x 当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈绕z轴的转动惯量随宽度的减小而增加。