18几何应用.DOC

§ 3 几何应用 本节讨论由隐式方程（组）表示的曲线和曲面的切线或切平面，因此要用到隐函数的微分法. 一、平面曲线的切线与法线 设平面曲线方程为 （1） 有 . 切线方程为 , （2） 法线方程为 . （3） 例1求Descartes叶形线 在点处的切线和法线 . P159. 二、空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题. 1.空间曲线由参数式给出 设空间曲线的参数方程为 （4） 其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线. 向量表示：。的导数定义为 几何意义：表示通过曲线上两点P、Q的割线的方向向量，令，即点Q得通过点P时，的极限位置就是曲线在点P的切向量，即 有了切向量，就可写出曲线在任一点的切线方程： （5） 切线的方向数与方向余弦. 法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L在点处的法平面，其方程为： （6） 补例1 求螺旋线：，（其中为常数）在点（a，0，0）的切线方程和法平面方程. 2.曲线由两面交线式给出 设曲线的方程为 如何求切向量？推导切线公式. P160-161. 设F、G关于x，y，z有连续的偏导数，点在上，即点满足方程组 ，，并且F，G的Jacobi矩阵 在点的秩为2，不妨设 . 由方程组的隐函数存在定理知道，在点的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数，从几何上看，即曲面下和在点的近分端定了一条光滑的曲线（两曲面的交线），其方程为： ，，， 此处是参数，与该切线的切向量是其中的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出） ； 切线方程为 . （9） 法平面方程为. （10） 例2 P161 . 补例2 求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。 三、空间曲面的切平面与法线 复习P115 曲面的方程为 情形的结论 切平面方程： （13） 法线方程： （14） 2.设曲面的方程为, 点在上. 推导切平面公式. P162. 切平面方程为 . （12） 法线方程为 . （13） 例3 P165-163. 补例3 求曲面在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 3.曲面方程由方程组给出（附录） ，，， 是参数，并假定Jacobi矩阵 的秩为2. 法线方程： 补例4 证明对任何常数，球面和锥面正交。 作业　 P163：2（2），3（1），6 . 3