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第一节 图与子图 图与网络 无向图的基本概念 有向图和网络 关联矩阵和邻接矩阵 关联矩阵 邻接矩阵 主要结论 子图 无向图的基本概念 无向图G：一个有序二元组(N,E)，记为G=(N,E) G的点集合：N={n1,n2, …,nn} G的边集合：E={eij}，且eij是一个无序二元组{ni,nj}，记为eij= {ni,nj} eij的端点：若eij= {ni,nj}，则称eij连接ni和nj，点ni和nj称为eij的端点 环：两个端点重合为一点的边 孤立点：不与任何边关联的点 无向图的基本概念 关联：一条边的端点称为与这条边关联 邻接：与同一条边关联的端点称为是邻接的，同时如果有两条边有一个公共端点，则称这两条边是邻接的 有限图：任何图G=(N,E)若N和E都是有限集合,则称G为有限图 空图：没有任何边的图 平凡图：只有一个点的图 简单图：一个图，即没有环，也没有重边。例如(a)是简单图，但(b)就不是简单图。 无向图的基本概念 完全图：每一对点之间均有一条边相连的图（如图一） 二分图G=(S,T,E) ：存在一个二分划(S,T)，使得G的每一条边有一个端点在S中，另一个端点在T中 完全二分图：S中的每一个点和T中的每一个点都相连的简单二分图（如图二） 简单图G的补图 :与G有相同顶点集合的简单图，且补图中的两个点邻接当且仅当它们在G中不邻接（如图三） 有向图 有向图G：一个有序二元组(N,A)，记为G=(N,A) G的点集合： N={n1,n2, …,nn} G的弧集合：A={aij}且aij是一个有序二元组(ni,nj)记为aij= (ni,nj) 下图就是个有向图 若aij= (ni,nj)，则称aij从ni连向nj，ni称为aij的尾，nj称为aij的头。 ni称为nj的前继，称nj为ni的后继 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。 网络 设G是一个图（有向图），若对G的每条边（弧）都赋予一个实数，并称为这条边（弧）的权，则G连同它边（弧）上的权称为一个（有向）网络或赋权（有向）图，记为G=(N,E,W)。 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间存在边。 有向完全图：在有向图中，如果任意两顶点之间都有存在方向互为相反的两条弧。 关联矩阵 关联矩阵 右图的关联矩阵是 邻接矩阵 邻接矩阵 右图的邻接矩阵是 几个基本结论 定理6.1.1 G是二分图当且仅当G的邻接矩阵可以表示成如下形式 一个简单有向图G=(N,A)的点i的入次是指G中以点i为头的弧数，记为di-；点i的出次是指G中以点i为尾的弧数，记为di+ 子图 子图 图G的不相交子图G1和G2：G1和G2没有公共点 图G的边不重子图G1和G2：G1和G2没有公共边 子图G1和G2的并G1∪G2：以G1和G2的点集的并为点集，以G1和G2的边集的并为边集的子图 子图G1和G2的交G1∪G2：以G1和G2的点集的交为点集，以G1和G2的边集的交为边集的子图 * 例 续一 续二 图二 图一 图三 含有n个顶点的无向完全图有多少条边 含有n个顶点的有向完全图有多少条弧 ？ n(n-1)/2 n(n-1) 简单图G=(N,E)的关联矩阵：一个|N|×|E|阶的矩阵B=(bik)，其中 简单有向图G=(N,A)的关联矩阵：一个|N|×|A|阶的矩阵B=(bik)，其中 续 简单图G=(N,E)的邻接矩阵：一个|N|×|E|阶的矩阵A=(aij)，其中 简单有向图G=(N,A)的邻接矩阵：一个|N|×|A|阶的矩阵A=(aik)，其中 续 图G的支撑子图G：G是G的子图，且N=N 点导出子图G[N ]：以N的一个非空子集N 作为点集，以两端点均在N’中的所有边为边集的子图 边导出子图G[E ]：以E的一个非空子集E 作为边集，以E’中边的所有端点作为点集的子图 续 *