3-4 事故树定量分析二.ppt

4 化相交集为不交集求顶上事件发生概率 ????某事故树有k个最小割集: El,E2, … ,Er, … ,EK, 一般情况下它们是相交的, 即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs 为相交集合 , Er + Er′Es 为不相交集合,如图 3-16 所示。 ; 亦即 Er U Es =Er + Er′Es (3-20)????式中 U -- 集合并运算 ;? ???+ -- 不交和运算。????所以有:???? P(Er U Es)= P(Er)+P(Er′,Es)????由式 (3-20) 可以推广到一般式:???? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ; 当求出一个事故树的最小割集后, 可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-21) 将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时, 利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。 而用以下不交积之和定理可以简化计算, 特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优越性。????不交积之和定理:????命题 1 集合 Er 和 Es 如不包含共同元素 , 则应 Es 可用不交化规则直接展开。????命题 2 若集合 Er 和 Es 包含共同元素, 则;? ??? 式中 ,Er←s 表示 Er 中有的而 Es 中没有的元素的布尔积。????命题 3 若集合 Er 和 Et 包含共同元素 ,Es 和 Et 也包含共同元素, 则:???? ????命题 4 若集合 Er 和 Et 包含共同元素,Es 和 Et 也包含共同元素, 而且Er←t Es←t,则：;?例题解答????[ 例 3-9] 以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化运算, 计算顶事件的发生概率。 解：事故树的最小割集为: ?? ???根据式(3-21) 和命题1、命题3, 得:; 设各基本事件的发生概率同前, 则顶事件的发生概率为: ??? P(T) = q1q4 + (1- q1)q3q5 + q1q3(1- q4)q5 + q1q2q3(1- q4) (1- q5)????????= 0.001904872 与前面介绍的三种精确算法相比,该法要简单得多。;5. 顶事件发生概率的近似计算??? 如前所述, 按式(3-48) 和(3-19)计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题, 即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和, 计算量也是相当大的。但在许多工程问题中, 这种精确计算是不必要的, 这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此, 用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以, 实际计算中多采用近似算法。??;???⑴最小割集逼近法: 在式 (3-18) 中, 设: ??? ??? 则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式, 即：???  ;?式 (3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，……等 , 依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限, 可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。???用最小割集逼近法求解 [ 例 3-8] 。???由式 (3-22) 可得 :;则有 : P(T)≤1.906×10-3??? ??? ?P(T)≥1.90486×10-3?????? ? ?P(T)≤1.904872×10-3???从中可取任意近似区间。???近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于表3-15 中。; 由表可知, 当以F1作为顶事件发生概率时, 误差只有0.059‰; 以F1 -F2作为顶事件发生概率时,误差仅有0.0006299‰ 。实际应用中, 以F1 ( 称作首项近似法 ) 或F1 -F2作为顶事件发生概率的近似值, 就可达到基本精度要求。 ; ⑵最小径集逼近法。 与最小割集法相似, 利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式(3-19) 中 , 设： 则 P(T) ≥ 1-S1?? ?P(T) ≤1-S1+S2 ??? ……?即: 1-S1≤P(T) ≤1-S1+S2 (3-23) S1+S2≥P(T) ≥1-S1+S2- S3??? ……; 式 (3-23) 中的1-S1, 1-S1+S2 , 1-S1+S2- S3 , ……等, 依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲, 式