集合论与现代数学.PDF

集合論與現代數學 胡作玄 恐怕沒有人反對, 集合論是現代數學的 到許多數學家的反對。 儘管如此, 由此產生出 基礎。 但是, 現代集合論, 特別是公理集合論, 數學中一個特殊的領域 — 數理邏輯。 20 世 已經成為一個同拓樸學、 同調代數、 代數幾何 紀最初 30 年, 主要數學家都重視這個基礎領 或隨機過程理論一樣的十分專門的分支, 其 域, 而後來則正如 J. Dieudonn´e 所講 , 現在 中的符號及術語已經令外行望而生畏。 人們 很少有人關心它, 除非他專精這一行。 不禁要問: 這樣的集合論真是現代數學的基 難道無窮的理論 — 無窮集合論真正是 礎嗎? 它同現代數學還有什麼關係嗎? 可有可無, 與真正的數學研究不相干呢? 實 從歷史上來看, 1900年以前的數學幾乎 際情況並非如此。 沒有集合論的容身之地。 在當時的文摘雜誌 上, 集合論是作為哲學的一個部門。 G. Can- 1. 無窮集合論來源於數學分 tor 的集合論從一開始就被當成異端。 當時的 析 數學對象主要是幾何圖形、 量 (無理數) 和數 Cantor在研究集合論之前, 首先研究三 以及由它們衍生出來的函數, 算子等。 Can- 角級數理論, 其中一個重要問題是唯一性集 tor的集合論在數學中引進兩種新事物, 一個 問題, 所謂唯一性集是指實數集合 E , 如果每 是集合, 一個是無窮。 前者給 20 世紀數學帶 個在 E 外均收斂於 O 的三角級數均恆等於 來一大批新學科, 它們可以統稱為結構數學, O 。 Cantor在 1870年證明任何可數閉集是 如抽象代數 (包括群論、 環論、 域論、 格論、 唯一性集。 W. H. Young 在 1909 年證明任 布爾代數理論)、 拓樸學、 泛函分析、 測度論 意可數集是唯一性集。 N. K. Bary 在 1923 等, 它們都研究整體結構, 從而必須建立在集 年證明任意可數個閉唯一性集的併集也是唯 合的基礎上, 而在 19世紀, 除了置換群, Lie 一性集, 這個問題至今沒有完全解決。 這就引 變換群等個別例子之外, 是不從這個角度來 出對實數集合的刻劃問題, 最早是 E. Borel, 研究數學的, 現在說集合論是數學的基礎也 R. Baire, Lebesgue 等人研究, 他們沒有走 是從這個意義上講的。 後者是 Cantor 的最 得太遠。 這與他們在哲學上觀點有關。 他們反 重要創造, 但由此也帶來一系列麻煩, 因此遭 對選擇公理 , 到 1916年以 Lusin 為首的莫斯 1 2 數學傳播 十九卷一期 民 84 年 3 月 科學派創立了描述集合論, 引進了解析集合 把 Ramsey 理論推廣到無窮基數, 則是 及射影集合, 這一套層系後來在遞歸函數論 無窮 合論主要內容之一。 其它有關的理論 中也很有用。 至今三角級數論的這方面結果 是 “樹”(tree) 理論及分拆理論。 與描述集合論的成就不可分割, 而描述集合 代數結構也