《数学模型》(第四版)第二章初等模型(2.3 划艇比赛的成绩 2.7 核军备竞赛).ppt

第二章 初等模型 2.1 光盘的数据容量 2.2 双层玻璃窗的功效 2.3 划艇比赛的成绩 2.4 实物交换 2.5 污水均流池的设计 2.6 交通流与道路通行能力 2.7 核军备竞赛 2.8 扬帆远航 2.9 天气预报的评价 研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的 可以利用初等数学方法来构造和求解模型 尽量采用简单的数学工具来建模 如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎. 初 等 模 型 2.3 划艇比赛的成绩 赛艇 2000m成绩 t (min) 种类 1 2 3 4 平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 14.7 对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系. 问题 准备 调查赛艇的尺寸和质量 l /b, w0/n 基本不变 艇长l 艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.4 11.75 0.574 21.0 18.28 0.610 30.0 问题分析 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 ~ 桨手的划桨功率 分析赛艇速度与桨手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: 划桨 功率 赛艇 速度 赛艇 速度 前进 动力 前进 阻力 桨手数量 艇 重 浸没 面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. 运用合适的物理定律建立模型. 模型假设 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W. 艇的静态特性 艇的动态特性 3）w相同，p不变，p与w成正比 桨手的特征 模型建立 f sv2, p w v (n/s)1/3 s1/2 A1/3, A W(=w0+nw) n s n2/3 v n1/9 比赛成绩 t n – 1/9 np fv, 模型检验 n t 1 7.21 2 6.88 4 6.32 8 5.84 线性最小二乘法 利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验. 与模型吻合！ t n 1 2 4 8 7.21 6.88 6.32 5.84 ? ? ? ? O 建立的m文件 JQ31.m 如下： n=[1,2,4,8]; t=[7.21,6.88,6.32,5.84]; x=log(n); y=log(t); a=polyfit(x,y,1) B=a(1) A=exp(a(2)) 注：在Matlab 中的线性最小二乘拟合，用的较多的是多项式拟合，其命令为： A=polyfit(x,y,m)， 其中 得到拟合的m次多项式， 划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！) 2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行“核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响. 背景与问题 以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小. 假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击. 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地. 摧毁