《标准理念下的初中代数教与学》张维忠.ppt

《标准》理念下的 初中代数教与学 张维忠 一、算术与代数之间的联结： 准变量表达式 “数与代数”（1-6年级）学段所研究的数都是算术数（非负有理数），要在短时间内，使学生建立起负数及其有关概念，进行有理数范围内的运算，不是一件很容易的事情，要做大量的工作。“数与代数”（1-6年级）学段的小学生一般都认为，等号就意味着在确信相等之前要进行计算，而且这是小学生从算术过渡到代数的障碍之一 “78-49+49=78” 用“78-49+49=78”提问小学生这是不是一个真语句？这个例子所关注的数学思想已经远离了（算术）计算。当然，计算很可能对学生重新确认那个数字语句的真假是有帮助的，但是，这类数字语句已经把孩子们的注意力吸引到它所蕴涵的潜在的代数结构上了。 “78-49+49=78” 该例所关注的既不是想要学生通过计算来证明“78-49+49=78”(尽管某些学生最初可能会通过计算来重新确认判断的正确与否)，也不是78和49这两个特殊的数。想要学生理解的是：“78-49+49=78”是这样一类典型的数字语句，即，不论减去和再加上的那个数是什么，它都是真的；而且，不论第一个数是什么，只要减去和再加上的那个数相同，结果都是一样的（比如，67-72+72=67）。有人把数字的这种运用定义为“准变量（表达式）”。 在算术教学中可以运用准变量对小学生进行代数思维的培养，并且有可能降低他们学习代数的困难。 小学算术教学中已经普遍运用的“凑整十”、“整十数”和“分整数”等，尽管这些使用中蕴涵着“准变量”的可能，但是，由于我们的目的只是获得一个正确的答案，所以，在本质上这些使用并没有体现准变量的思想。 “71-54” 学生的算法是：“70减50等于20，4减1等于3，所以71减54等于20减3，即17”。该学生的算法恰恰体现了准变量的思想，即，其准变量表达式为： 71-54=（70-50）-（4-1）。 （教师却武断地加以阻止） 之所以造成这类现象的主要原因是，我们的老师一般都认为，在算术的教学中，重点是要教给学生正确、基本的计算程序（或步骤）与方法，而不是灵活、丰富的数学思想。 准变量表达式是算术中潜在的代数性质，它在由算术思维过渡到代数思维的过程当中具有不可替代的作用和意义。 准变量表达式不仅可以使我们更加关注算术中的关系，而且还能为学生学习后续的代数内容建构一个强有力的桥梁；同时，它还能够加深对算术基础的理解。在小学阶段，可以而且应该为学生提供特殊的代数推理的机会，以发展他们的代数思维。 握手问题 有n个人聚会，要求每个人都要与其他人握手（一次）以示友好，请问：这n个人一共握手多少次？对于小学低年级学生而言，我们不可能要求他们给出一般化的结论：n(n-1)/2 程序思维 我们可以通过下面的方式来引导他们进行准变量思维（尽管我们没有使用代数符号）。首先是“角色扮演”。通过具体地扮演握手来记录：2个人握手1次，3个人握手3次，4个人握手6次，5个人握手10次，等等。这显然是程序思维。 关系思维 其次是引入关系思维。通过具体地扮演握手，我们可以知道，10个人握手的总次数是：9+8+7+6+5+4+3+2+1（不要求学生计算出具体的结果！）。 现在提问：如果有15个人，那么握手的总次数是多少呢？ 这一提问本身就已为学生提供了一个浸润于代数思维的丰富机会。 一个可能的回答是：如果第11个人来了，那么为了和每一个人都见面，他需要握手10次，因为其他人都彼此握过手了，所以，如果第12个人来了，那么就要“再加上”11，第13个人来，“再加上”12，第14个人来，“再加上”13，第15个人来，“再加上”14。因此，15个人握手的总次数是： 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。 再次是变换提问方式，进一步强化关系思维。 如果聚会的人总共握手“8+7+6+5+4+3+2+1”次（也不给出具体的结果！），请问：总共有多少人聚会？等等。这些都是发展关系思维的极好时机。 二、抓好代数式的训练，进一步提高学生抽象思维能力 学生对用字母表示的数，运用起来远不如具体的数那么顺手。譬如，练习本每本价9角，铅笔每支3角，问练习本的单价是铅笔的几倍？对这一问题，学生很少有困难。而对练习本每本a角，铅笔每支b角，问练习本的单价是铅笔的几倍？对这一问题，就有学生感到棘手了。这是因为学生认为是一个算式，而不是结果