一致连续的几何意义.ppt

* 补充：函数一致连续的概念 设函数f(x)在区间 I 上连续， 或：对于 ?? 0, ? ? 0，当|x-x0|δ时，有|f(x)-f(x0)|?。 (*) x0 x1 ? x y o 问题 给定一个? 0，是否可找到满足（*）式一个 最小的δ，对 I 中的一切x0点都适合？ ? ? 0，要找对一切 x0∈[0.1, 1]都适用的δ。从主要 不等式 定义 设f(x)在区间 I 上连续，若 ?? 0, ? ? 0 （δ仅与ε有关，与x0无关），对于 I 上任意二点 x?,x?，只要| x?-x? |δ，就有| f(x?)-f(x?)|ε，此时称 f(x) 在 I 上一致连续。 注 1）非一致连续函数的分析描述 对于某一 ? 0，对于任意的δ0，总可以找到区间 I 中的两点 x?,x? ，虽然| x?- x?|δ，但是|f(x?)-f(x?)| ≥? 例：1/x , x ∈ ( 0，1] . 2）一致连续的几何意义 一致连续函数 只要自变量| x?-x?|δ，则函数值|f(x?)-f(x?)|ε 。 作一个管子如图 几何意义 存在这样的一个管子，可以在一致连续函数曲线上平行移动。 3） 通常函数在区间上非一致连续的现象只可能出现在区间的端点上、间断点的附近（图形有无限陡峭的情况）。 ε δ y=f(x) x y o 康托定理(Cantor) 若f(x)在[a，b]上连续，则 f(x)在[a，b] 上一致连续。 证明：反证法 假设f(x)在[a，b]上不一致连续，即：对某一 ? 0 0， 对一切 ∵x?n∈[a，b]，x?n∈[a，b] (n=1,2,…)， {x?n}，{x?n}是二个有界无穷数列， “有界无穷数列定存在收敛的子数列” 取{x?n}的一串子列 ，随之挑出{x?n}的 子列 . 利用两个子列的关系, 有 二边取极限，有 | f(x0)- f(x0)| ≥ ? 0 ，矛盾！ ∴ f(x)在[a，b]上一致连续。 举例： 1. 证明 f(x)=sin(?/x) 在（0，1）上连续有界的，但非一致连续。 证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。 ，只要n充分大，无论 ? 怎样小， ∴ f(x)在(0，1)上非一致连续。 xn ?与xn ??可以非常靠近