学习单位学习重点时间微积分领域极限和求导法8 求导法的应用8求 .PDF

  學習單位 學習重點 時間 微積分領域 極限和求導法 8. 求導法的應用 8.1 求曲線的切線和法線方程 14 8.2 求函數的極大值和極小值 8.3 描繪多項式函數及有理函數的曲線 8.4 解與變率、極大值和極小值有關的應用題 課程闡釋： 必修部分中的學習重點 2.3 及 2.4 ( 非基礎課題) ，內容包括以圖解法或代數 方法求二次函數的極大值/ 極小值。在單元二(代數與微積分) ，求導法不限 於應用在二次函數的極值問題。 學習重點 8.1 不單要求學生能找出曲線上一點的切線方程及法線方程，亦 要求他們能夠求曲線外一點至曲線的切線方程 。當中學生需要用到以代數 方法解二元一次及二元二次的聯立方程，所以就必修部分學習重點 5.2(非 基礎課題) 的內容而言，學生應要有較為全面的理解。 求函數的局部極值( 即是極大值或極小值) ，可以用「一階導數判別法」和 「二階導數判別法」。除局部極值外，應考慮閉區間端點的數值以判定全局 的極值。若f (x ) 0 ，「二階導數判別法」不適用於判別在x x 的極值。在 0 0 這情況下，學生須採用「一階導數判別法」。 學生須懂得用二階導數判別函數的凹凸性，並使用這些性質求函數的拐點。 教師應注意曲線描繪只限於多項式函數及有理函數。曲線的某些特徵能從 其方程中容易地被觀察或找到。例如：  曲線的對稱性  x 值和 y 值的限制   23    曲線與兩軸的截距  極大點與極小點  拐點  曲線的垂直、水平和斜漸近線 研究一個特定的曲線時，學生不須要考慮曲線的所有特徵。不同問題會考 慮不同特徵，故須利用不同例子展示不同特徵。 曲線的凹凸性、遞增函數及遞減函數的概念對描繪曲線是十分有用的。曲 線上拐點的切線穿越曲線，可以是水平的、斜的或甚至是垂直的。求斜漸 近線的討論不須涉及複雜的極限計算，能運用長除法求有理函數曲線的斜 漸近線方程便已經足夠。所以 ，須鞏固學生在必修部分學習重點4.1 多項 式除法的概念。 在解涉及極大值及極小值的文字題之前，應著學生留意以下幾點： (1) 一個連續函數的局部極大值及局部極小值是交替出現的。 (2) 若一個函數只有一個轉向點，由問題的性質可清楚決定該轉向點是極 大值還是極小值。 在解有關極值的問題時，應注意在某些情況下計算導數並不是求函數極大 值及極小值的唯一方法。配方法是求二次函數的極大值和極小值的一個有 效代數方法。在處理文字題時，題目中的現實情況有時會提供極佳的解題 線索。例如，求導法可以用來解決以下的問題 ，但若考慮到現實情況，不 用微積分的方法，可能更簡潔優美。   24   例子一 A 如圖，P 和 R 為河流 AB 同一邊的兩點。若要由 M 3 km P P 走到河邊的一點(稱作 Q) ，再走到R 。問Q 點 應該在河岸的那一位置使得由 P 到 Q ，再到R 20 km 的路徑為最短？ Q