导数误区-吴中学.DOC

导数的误区 江苏省吴县中学 潘九洲 （215151） 导数是研究函数的性质的重要工具，特别是在研究函数的单调性、值域、曲线的切线等问题时，准确使用导数这一工具，解答简洁明了，但是由于我们对导数的一些性质理解不够深入也往往因此犯错，下面就针对常见的几个问题进行剖析。 一、导数为零一定是极值点吗？ 在研究极值点时，我们常常令导数为零，那么导数为零一定是极值点吗？ 例1、函数的极值点有 个 分析：本题考查导数等于0的解与极值点之间的关系，建立方程即可 解：，令 － ＋ ＋ 减函数 增函数 增函数 当时，左右单调性一致，所以只有这一个极值点。 评注：导数等于0的解只是极值点的必要条件，也就是说“疑是极值点”，还需要通过其左右导数值的正负来进一步确认。 二、函数的单调导数一定大于（小于）吗？ 在研究函数的单调性时，我们常常通过导数的正负来确定，那么单调函数导数一定大于（小于）吗？ 例2、若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 分析： 函数在上单调递增，则可以通过导函数的正负来确定。 解：，则 因为函数在上单调递增，则恒成立， 即，又因为导函数开口向上与轴相切，此时的切点不是极值点，在其左右邻域内导函数都是正值，所以函数始终是增函数。 所以。 评注：导函数恒大于0时，函数一定是单调递增的，但是具体研究某一个函数的单调性（常函数除外）时单调递增（减），导函数大于（小于）等于0。为什么常函数要除外呢，因为时，虽然满足，但是函数不是单调的。 三、过曲线上一点作曲线的切线唯一吗？ 在研究函数的曲线切线时，导数是非常简洁的工具，因为导数的几何意义是斜率，所以在求切线方程时可以通过导数直接得到斜率。 例3、经过点与曲线相切的切线方程为 分析：求经过点与曲线相切的切线，目标就是求斜率，斜率即求导，此外还有切点的不确定性，不能误认为P就是切点。 解：设切点为，则， 所以切线方程为，又经过点，则 或，切线方程为：或 评注：经过曲线上一点与曲线相切的切线不一定就是以该点为切点的，解题的关键是：“找切点（没有就设点），列方程；需斜率，求导数”，即充分使用好三个条件：切点分别在曲线、直线上，。 四、与已知直线平行的切线到已知直线的距离是最大（小）距离吗？ 例4、曲线上的点到直线的最短距离是 分析：求曲线上的点到直线的最短距离，其实就是平移直线的过程中与曲线相切时两平行线之间的距离，但是首先要验证已知直线与已知曲线之间的关系是否相离，否则曲线与直线之间的最短距离为0。 解：设曲线上一点，过M点的直线与直线平行， 则则，即切点 而在直线上方， 所以曲线与直线必相交 则曲线上的点到直线的最短距离是0 评注：通过“平移直线”，使用“平行线法”求曲线上的点到已知直线的最大（小）距离时，但是首先要验证已知直线与已知曲线之间的关系是否相交；若曲线与直线相交，曲线与直线之间的最短距离为0。 导数在求函数的单调性、值域、最值、参数的范围、曲线的切线等问题时会体现出它的优势，但是有一些细节要注意处理好，以确保解题的准确性。总之,利用导数解决函数的问题是各地高考的重点，这种题型要引起同学们足够的重视，值得我们潜心研究。 此文发表在《时代学习报》数学周刊09年25期 3