引函数微分与反函数微分.PPT

隱函數微分與反函數微分 隱函數的微分(Implicit Differentiation) 雖然方程式 中的x和y並沒有函數關係,但若我們將y限制為大於等於0, 則x和y有函數關係 且 (如下圖的圖(b)所示)。 反函數微分 定理1(反函數微分定理) 設函數f在區間I為嚴格遞增(或遞減)且可微分。若f在區間I內的一點x,其微分值 則f的反函數 在x的對應點y=f(x)為可微分,且 例12: 若 , 且 f (1)=2, 求 。 解: 利用隱微分, 可得 將f(1)=2代入上式, 可得 例13: 求 的隱微分 。 解: 例14: 驗證曲線 上任一點的切線, 其x-截距和y-截距之和等於c。 解: 設 為曲線 上的一點。 將點 代入上式, 可得曲線 過點 的切線斜率為 切線則為 x-截距為 y-截距為 x-截距+y-截距等於 例15: 利用隱微分驗證以O為原點的圓, 此圓上的任一點P, 其切線垂直半徑OP。 解: 設O對應直角座標的原點(0,0), 而 此圓的半徑為r, 其所對應的方程式 為 。 由於幾何性質不受座標選取的影響, 故我們可設P點的座標為(x,y),且x≠0, y≠0 。利用隱函數微分, 可得 線段OP的斜率為 , 而切線斜率為 , 兩者的乘積為 故得証。 例16: 求 的隱微分 。 解: 例17: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解: 將點 代入上式可得切線斜率為 故切線為 例18: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解: 將點(3,1)代入上式可得切線斜率為 曲線 過點(3,1)的切線為 例19: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解: 將點 代入上式, 可得曲線 過點 的切線斜率為 切線則為 例20: 求 的隱微分 。 解: 例21: 求 的隱微分 。 解: 例22: 利用隱微分求曲線 上點 的切線。 解: 將點(0,-2)代入上式可得切線斜率為 切線則為 例23: 求 的隱微分 。 解: 例24: 求曲線 上的點, 其切線為水平。 解: 切線為水平, 則切線的斜率為0, 故 所以x=0或圓 上的點 滿足 。 將x=0代入 , 得 但是x=0,y=0這一點必須排除, 因為將(0,0)代入 ,分母將為0, 故不合。 將