新发现一个几何定理.PDF

EduMath 23 (12/2006) 新發現一個幾何定理 于志洪 江蘇省泰州實驗學校 最近在講授九年義務教育三年制初級中學教科書《幾何》第三冊第79 頁例 2 後，我應用例 2 「三角形兩邊之積等於三邊上的高與外接圓直徑之 積 」及其引申「圓上任意一點到某切線相切點的距離等於該點到切線的距 離與圓直徑的比例中項」，發現了一個新的幾何定理。現提出來，其目的在 於拋磚引玉，不足之處，請讀者指正。 一、引理 如圖一，已知P 是 O 上的一點，AB 是弦，PC AB 於C ，PD 垂直 PA 2 2 過A 點的切線於D ，若d 為 O 的直徑，求證：AC  d PB ， d PA 2 2 AD  d PA 。 d D A P O C B 圖 一 證明 令 DAP = B =  ，則PC = PB sin  ，PD = PA sin 。又由正弦定 PA PA PB PA2 理知sin = ，故PC = ，PD = 。因此由勾股定理得 d d d 2 2 2 PA PB 2 PA 2 2 AC = PA PC = PA ( ) =  d PB ， d d 2 2 2 PA2 2 PA 2 2 AD = PA PD = PA ( ) =  d PA 。 d d 87 數學教育第二十三期 (12/2006) 二、新定理1 三角形外接圓上任一點在三邊上的射影至三頂點的距離之積，等於該 點在過三頂點所作切線上的射影至三頂點的距離之積。 C1 B3 A 1 P C2 B 1 C3 A2