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§7.4 幂级数
一、函数项级数的一般概念
1.函数项无穷级数的定义
u (x ), u (x ), Λ, u (x ), Λ I R
设 1 2 n 是定义在 上的
u (x ) u (x ) u (x ) Λ u (x ) Λ
函数,则 n 1 2 n
n 1
I
称为定义在区间 上的 (函数项)无穷级数 .
例如级数 x n 1x x 2 Λ,
n 0
函数项级数
2.函数项无穷级数的收敛点与收敛域
x I u (x )
如果 0 ,数项级数 n 0 收敛,
n 1
x u (x )
则称 0为级数 n 的收敛点, 否则称为发散点.
n 1
u (x )
函数项级数 n 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n 1
所有发散点的全体称为发散域.
3.函数项无穷级数的和函数
x
在收敛域上, 函数项级数的和是 的函数 s(x ) ,
称s(x )为函数项级数的和函数.
s(x ) u (x ) u (x ) Λu (x ) Λ
1 2 n
对应可作函数项级数的部分和: sn (x ),
x在收敛域上: lim sn (x ) s(x )
n
余项 r (x ) s(x ) s (x )
n n
lim r (x ) 0
n
n
注: 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上
是数项级数的收敛问题.
(1)n 1 n
例 1 求级数 n (1 x ) 的收敛域.
n 1
解 由比值审敛法(达朗贝尔判别法)
un1 (x ) n 1 1
(n )
u (x ) n 1 1x 1
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