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§5 函数展开成幂级数
问题的引入 n
n 1 x
前面讨论到: (1)?
n 1 n
n
n 1 x
(1)ln(1) x
n 1 n
(11) x
反过来:
ln(1)?x 数幂级
n
n 1 x
ln(1)(1)x
n 1 n
(11) x
一、泰勒级数
1、函数f(x) 能展开成幂级数的含义
一般地: f (x ) a (x x )n
n 0
n 0
表示存在幂级数,在其收敛域内以 f(x) 为和函数.
此时称 “f(x) 在该区间内能展开成幂级数”
问题:
a
1.如果f(x) 能展开, n 是什
么?
2.如果f(x) 能展开,展开式是否唯一?
f (x ) U (x )
定理 1 如果函数 在 0 内具有任意阶导
U (x ) (x x )
数, 且在 0 内能展开成 0 的幂级数,
f (x ) a (x x )n
即 n 0
n 0
1
a f (n) (x ) (n 0,1,2, Λ)
则其系数 n n! 0
且展开式是唯一的.
证明:
开展在为能内由 ()()()fxUxaxx 00 n n
n 0
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