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f (n) (x ) n
0 (x x ) ? f (x)
0
n 0 n!
由泰勒公式有下列定理:
f (x ) x U (x )
0 0
定理 2 函数 在点 的泰勒级数在 内
f (x ) U (x )
收敛于 在 0 内泰勒公式的余项满足
lim Rn (x ) 0 .
n
证明: 必要性: 设f (x )能展开为泰勒级数 ,
lim()()sxfx
n 1
n
n f ( i ) (x 0 ) i
Θf (x ) (x x 0 ) Rn (x )
i !
i 0
R (x ) f (x ) s (x ),
n n1
lim R (x ) lim[f (x ) s (x )] 0;
n n1
n n
充分性: lim()0Rx
n
n
Θf (x) s (x) R (x),
n1 n
lim[f (x ) sn1 (x )] lim Rn (x ) 0,
n n
即lim sn1 (x ) f (x ),
n
f (x )的泰勒级数收敛于f (x ).
二、函数展开成幂级数
1.直接展开法
fx()n () 0 f ()n (0)
步骤: (1);或求an
nn!!
(2) 构造数数林泰勒级级或,麦克劳
敛半径并R.求收出
(3)lim()0论讨 Rx
n
n
则级数在收敛区间内收 敛于f (x ).
x
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