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四、二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f (x)
对应齐次方程为 y py qy 0,
由通解结构: y Y y ,
关键点 :如何求非齐次线性方程的特解?
1()().型fxPxe m x
方程为:
x
ypyqyPxe m ()
�非�次方程特解为 y Q(x)ex 代入原方程
2
Q (x ) (2p )Q (x ) ( p q)Q(x ) Pm (x )
2
(1) 若不是特征方程的根, p q 0,
x
可设Q(x ) Qm (x ), y Q (x)e ;
m
(2) 若是特征方程的单根,
2 2p 0,
p q 0,
x
可设 Q ( x ) xQ m ( x ), y xQm (x)e ;
(3) 若是特征方程的二重根 (等实根)
2
p q 0, 2p 0,
2 2 x
可设Q(x) x Q (x), y x Q (x)e .
m
m
综上讨论得特解形式:
0 不是根
kx
yxQxe m (), k 1 是单根 ,
2 是重根
注: 特解中多项式系数的确定法
将特解形式代入方程,比较多
项式同次幂系数,得方程组,求解得
多项式各系数待定系数法
例 求方程y 3y 2y xe 2 x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2
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