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§10.3 全微分
一、全微分的定义
定义 z f (x , y ) (x , y )
如果函数 在点 的全增量
z f (x x , y y ) f (x , y )
可以表示为
z A x B y o( ) A , B
,其中 不依赖于
2 2
x , y x , y ( x ) ( y )
而仅与 有关, ,
z f (x , y ) (x , y )
则称函数 在点 可微分,
A x B y z f ( x , y ) (x , y )
称为函数 在点 的
dz dz A x B y
全微分,记为 ,即 = .
函数若在某区域 内各点处处可微分,
D
则称这函数在 内可微分
D .
: z f (x , y ) (x , y ) ,
注 如果函数 在点 可微分
则函数在该点连续 .
事实上 z Ax By o(), lim z 0,
0
lim f (x x , y y ) lim[f (x , y ) z ]
x 0 0
y 0
f (x , y )
z f (x , y ) (x , y )
故函数 在点 处连续.
二、可微的条件
定理 1 (必要条件) 如果函数z f (x , y )在点
(x , y )可微分,则该函数在点(x , y )的偏导数
z z
、 必存在,且函数z f (x , y )在点(x , y )的
x y
z z
全微分为:
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