中南大学《实用测量数据处理》第三章 平滑与滤波.pptVIP

第三章 平滑与滤波 提纲 1、最小二乘拟合平滑 2、高斯权函数平滑 3、Vondrak平滑 1.1 数据平滑的概念 测量数据 通常可以表示为： 测量资料中的信号 测量资料中的随机误差 数据平滑的目的：在保留测量资料有用信号量的前提下，消除或消弱资料中的随机误差 数据平滑处理也称为修匀或滤波，一般可以归纳为两类： 带有参数估计的平滑法，如曲线拟合 无参数估计的平滑方法，如滑动平均，数字滤波 1.2 多项式拟合平滑 曲线拟合平滑：以某种确定函数（或多项式）的形式去拟合测量的资料。即对测量资料用适当的函数去逼近，以消弱测量中的随机误差。 多项式拟合平滑： 1.2 多项式拟合平滑 多项式拟合平滑： 1.3 周期函数拟合平滑 周期函数拟合平滑：当实际测量序列包含周期性变化的信号时，用一般的多项式拟合，会消弱或损失资料中的周期性规律信号。因此，对于周期性规律变化的测量数据，应采用周期性函数的形式去拟合和平滑。 设测量资料中有一个周期为 的信号： 周期函数的振幅 周期函数的初相位 1.3 周期函数拟合平滑 对 展开可得 1.4 滑动平均平滑 思想：分段曲线拟合，实现整个测量序列的平滑 滑动平均：对几个相邻的测量资料以给定的较为简单的函数形式进行拟合，求得则几个测量资料的某种算术平均关系，按此关系在整个资料序列上逐个移动计算，求得一系列平滑值。 三点滑动平均（线性） 设任意三个相邻的测量资料 ，拟合一个线性函数 1.4 滑动平均平滑 按最小二乘解算 1.4 滑动平均平滑 五点滑动平均（线性） 1.4 滑动平均平滑 五点滑动平均（二次曲线） 提纲 1、最小二乘拟合平滑 2、高斯权函数平滑 3、Vondrak平滑 2.1 高斯权函数平滑 主要原理：将测量数据与一个高斯曲线分布的权函数作乘积，以求得测量数据的平滑值 高斯权函数平滑： 2.1 高斯权函数平滑 高斯权函数平滑实质上仅相当于对测量数据作一种简单的计权平均。相离平滑值的时间越近，测量数据的权越大；而离的时间越远，权越小。权的大小变化服从高斯分布曲线。 为高斯权函数的带宽。但 取值较大时，较多的测量数据在计权中起作用，平滑较强； 当 取值较小时，较少的测量数据起作用，平滑较弱。 提纲 1、最小二乘拟合平滑 2、高斯权函数平滑 3、Vondrak平滑 3.1 Vondrak平滑原理 Vondrak平滑法的基本原理 假设为 观测信号序列， 为对应的观测时刻， 为待求的观测信号的平滑值，Vondrak滤波的目标函数（Vondrak, 1969） F为“拟合度”，S为“光滑度” 3.1 Vondrak平滑原理 设所有的点 位于连续函数 定义的曲线上。这样，离散的三阶差分计算就成为连续函数的三阶导数计算 3.2 公式推导 函数的表达式是未知的，只能先作假设。如，假设通过 之间的平滑曲线是由四个相邻的平滑值 和 的三次拉格朗日多项式表示，则有 3.2 公式推导 的三阶导数 3.2 公式推导 “光滑度” S的计算 3.2 公式推导 Vondrak平滑法的基本原理的改进（Vondrak, 1977） 3.2 公式推导 平滑去噪 3.3 矩阵表达 矩阵形式 3.3 矩阵表达 矩阵形式 3.3 矩阵表达 间隔等于1的情况 3.4 求解 求解 间隔等于1的情况 3.4 求解 3.5 追赶法求解 3.6 准二维Vondrak 沿着行去噪 沿着列去噪 3.6 准二维Vondrak 沿着行去噪 3.6 准二维Vondrak 沿着列去噪 3.6 准二维Vondrak 最后解 Rigorous 2D Least Squares Based Filter Filtering in two directions simultaneously Rigorous 2D Least Squares Based Filter Collapses 2D image into1D first Rigorous 2D Least Squ