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排列与组合专题（类型及解题策略） 1．首先明确任务的意义 　　例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。 　　分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 　　设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定， 　　又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，C（2,10）*2*P（2,2）=90*2*2，因而本题为360。 　　例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 　　分析：对实际背景的分析可以逐层深入 　　（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 　　（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 　　（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 　　从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 　　∴ 本题答案为：=56。 2．分析是分类还是分步，是排列还是组合 　　注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 　　例3．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。 　　分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。 　　第一类：A在第一垄，B有3种选择； 　　第二类：A在第二垄，B有2种选择； 　　第三类：A在第三垄，B有一种选择， 　　同理A、B位置互换 ，共12种。 　　例4．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有________。 　　(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 　　分析：显然本题应分步解决。 　　（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； 　　（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。 　　（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法； 　　（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 　　或分步 　　（1）从6双中选出一双同色的手套，有C(1,6)=6种方法； 　　（2）从剩下的5双手套中任选两双，有C(2,5)=10种方法； 　　（3）从两双中手套中分别拿两只手套，有C（1,2）*C（1,2）=4种方法； 　　同样得出共（1）*（2）*（3）=240种。 　　例5．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。 　　分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有=90种。 　　例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 　　分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。 　　以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。 　　第一类：这两个人都去当钳工，有10种； 　　第二类：这两人有一个去当钳工，有100种； 　　第三类：这两人都不去当钳工，有75种。 　　因而共有185种。 　　例7．现有印着0，l，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 　　分析：有同学认为只要把0，l，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。 　　抽出的三数含0，含9，有32种方法； 　　抽出的三数含0不含9，有24种方法； 　　抽出的三数含9不含0，有72种方法； 　　抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。 　　因此共有32+24+72+24=152种方法。 　　例8．停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是________种。 　　分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有362880种停车方法。 3．特殊优先 　　特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 　　例9．六人站成一排，求 　　(1)甲、乙即不再排头也不在排尾数 　　(2)甲不在排头，乙不在排尾