概率论及数理统计第三讲.ppt

第五讲 条件概率（2） 独立性 * * 概率论与数理统计 条件概率（2） 独立性 全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率. 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 一、全概率公式 　　　 例1 有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 即 A= B1A+B2A+B3A， A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生， P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 运用加法公式得 1 2 3 且 B1A、B2A、B3A两两互斥 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得 P(A)=P( B1A)+P(B2A)+P(B3A) 代入数据计算得：P(A)=8/15 也称满足上述条件的B1,B2,…,Bn为完备事件组. 定义 设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件.若 则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分. 全概率公式: 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且有P(Bi)0， i =1,2,…,n, 则 在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算. 某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是 每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. 或理解为： 全概率公式应用演示 实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因” 有三个箱子，分别编号为1、2、3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 . 1 2 3 1红4白 ? 二、贝叶斯公式 某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A) 运用全概率公式 计算P(A) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? 该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式： 　 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且P(A)0 ，P(Bi)0，（i =1,2,…,n）, 则 例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 解: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求P(C|A). 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得: P(C｜A)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(C｜A)= 0.1066 说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义. 从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有 无意义？ 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(C｜A)=0.1066 即使