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一道课本例题的拓展改编与探究延伸 崇雅中学初中部 黄海平 摘要：一份好的数学试题需要几道高质量的命题，原创题固然是好的命题，但许多命题通常是通过课本例习题等其它习题拓展改编而来的。对习题进行改编不仅能对原题考查的知识结构加深理解，而且对我们掌握的知识点进行融会贯通也起到很大的促进作用，这也是我们区教研室近三年每年坚持青年数学教师改编题比赛的初衷，我也希望通过此文能让大家对如何改编例习题有一定的了解和帮助。 关键词：课本例题 旋转 改编题 拓展 探究 近两年来，市、区教育局教研室都鼓励数学老师对一些数学题进行改编和设计，并进行了一系列的改编题和说题比赛，普遍数学老师都认为取得了不错的效果，并对自身业务能力的提高和对初中数学的知识结构了理解都有一定的帮助。笔者在改编题的过程中也体验到了改编的乐趣和对自身能力提高的帮助。对于要改编的题，首先你要研究原题，包括原题的考查点、解答过程、数学思路和数学思路等，这本身就是一个学习提升的过程；在对原题的分析和改编过程中，当我们自己的知识面越广、思路越开阔、渗入的数学思想和数学思路越多，那么此题改编的可能性越多，我们学到和体会的也就越多。例如我们通过改编题可以将整式和分式串连起来，可以将方程和函数串连起来，可以将三角形和四边形串连起来，可以将代数和几何、甚至和概率一起串连起来等等；通过对一些命题特别是中考命题的分析和改编，我们也可以了解中考命题思路和方式，抓住一些不变或变的命题形式和命题规律，这样自然而然的我们对数学命题的把握能力和自身的解题能力定会逐步提高。下面就是笔者在改编题的过程中对一道课本例题的拓展改编和探究延伸。 原题是人教版九年级数学第23章第1节《图形的旋转》 的一道例题。题目如下： 如图1，是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形。 此题是一道旋转作图题，通过确应各个点的对应点位置就可以得到最后图形。 解答过程：因为点是旋转中心，所以它的对应点是它本身。 正方形中，，所以旋转后点Ｄ与点Ｂ重合。 设点的对应点为点，因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以 因此，在的延长线上取点，使，则为旋转后的图形（如图2）。 　　 　　 图1　　　　　　　　　　　　　　　　 　图2 此题虽然给度不大，但旋转的思想以及透露出来数学方法对我们以后的学习具有很大的基础和借鉴作用。而且图形的旋转经常作为载体，结合几何中的全等、相似、勾股定理、三角形、四边形等知识来出一些综合题，这也是近几年广东中考中的热点题，如： 1、（2011年广东21题）如图3，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图4 图3 图4 问：（1）始终与△AGC相似的三角形有哪些？ （2）设CG＝x,BH=y,求y关于x的函数关系式（只要求根据图4的情形说明理由）; （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形? 2、（2010年广东20题）已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF，如图6放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，AB＝DE＝4． ⑴求证：△EGB是等腰三角形； ⑵若纸片DEF不动，问△ABC绕点F逆时针旋转最小 度时，四边形ACDE成为以ED为底的梯形（如图7）．求此梯形的高。 图6 图7 3、（2009年广东20题）（1）如图8，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G. （1）求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的 . （2）如图9，若∠DOE保持120o角度不变. 求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC面积的. 图8 图9 可见以“图形的旋转”为背景的中考题是非常多见的，也足以证明“图形的旋转”的重要性，而此题略为改编和补充又可得到一道非常好的题。 改编1：如图10，分别在正方形的边上，且，连结。将绕点顺时针旋转到位置，点与点重合，点在的延长线上。证明：。并请猜想线段之间的数量关系，并加以证明。 分析：要证三角形全等，我们必须去找边和角的相等关系， 而题目利用中的只有“旋转前后的图形全等