我们必须知道,我们必将知道.PDF

我們必須知道，我們必將知道 陳關榮 Wir müssen wissen, wir werden wissen （我們必須知道，我們必將知道）——這是大 衛·希爾伯特 1930 年退休感言的結束語，鐫刻在哥廷根城市墓地（Stadtfriedhof Gӧ ttingen）裡他那簡單墓碑的下方。 （2015 年9月 10 日，本文作者在哥廷根參拜了希爾伯特墓地） 大衛·希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）出生於東普魯士的哥尼斯堡（Kӧnigsberg） 附近。哥尼斯堡是哲學家康得的故鄉，也是歐拉研究七橋問題和數學家雅可比任教的地方， 現在歸屬俄羅斯。1880 年，希爾伯特違背了父親讓他讀法律的意願而進入哥尼斯堡大學 學習數學，師從林德曼（Carl von Lindemann，1852-1939），22 歲獲得博士學位。之後 留校任教，31 歲晉升正教授。1895 年，希爾伯特轉入哥廷根大學（全稱是 Georg- August-Universität Göttingen）任職教授，在那裡度過了餘生，於 1943 年辭世。他曾 獲俄羅斯羅巴切夫斯基獎和瑞典科學院 Mittag-Leffler 獎，1942 年當選為柏林科學院榮 譽院士。 David Hilbert（ 1862-1943） 希爾伯特是歷史上最卓越的數學家之一，在不變數理論、代數數論、積分方程、變分法、 泛函分析、數學和幾何學基礎、數學物理等領域中作出了十分重要的貢獻。今天，「希爾 伯特空間」、「希爾伯特變換」、「希爾伯特矩陣」、「希爾伯特曲線」等冠以其名的術 語和他那有趣的「希爾伯特旅館悖論」均廣為人知。 1900 年，38 歲的希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數學會議上以「數學問題」為題的演 講中提出了 23 個重要的數學難題，即衆所周知的「希爾伯特問題」，激勵和推動了後來 一個多世紀許多數學分支的蓬勃發展。簡而言之，希爾伯特的第 1-6問題關於數學基礎理 論，第 7-12 問題關於數論，第 13-18 問題屬於代數和幾何，而最後的第 19-23 問題屬於 數學分析範疇。經過許多數學家長期的努力，目前大多數問題都得到了完全或部分解答。 鑒於他本人的研究興趣和當時的歷史條件，希爾伯特問題中未能包括拓撲和微分幾何等重 要領域的數學問題，也基本上沒有涉及應用數學和計算數學。當然，沒有人會苛求希爾伯 特用 23 個問題去涵蓋浩瀚的數學分支和內容。實際上，二十世紀數學的發展遠遠超出了 希爾伯特當時的設想。 希爾伯特的第二問題是有名的「判定問題」，它至關重要，涉及整個數學基礎，關心數學 是否完備和一致？是不是所有數學命題都可以通過有限次正確的數學步驟作出判定？希爾 伯特雄心勃勃，要將整個數學體系嚴格公理化，然後用他的所謂「元數學」（證明數學的 數學）來證明整個數學體系是堅不可摧的。為了這個目標，他制定了一個後人稱之為「希 爾伯特計劃」的部署：首先，將所有數學形式化，把每一個數學陳述都用符號來表達。 然後，證明整個數學系統是完備的，即對任何一個數學陳述都存在一個數學證明。同時， 還要證明數學是一致的，也就是說絕不存在自相矛盾的陳述。最後，還要有一個可以實現 的演算法，通過有限步程式最終判定數學陳述的對錯。顯然，這是一個野心勃勃的宏圖大 計，但希爾伯特並不認為它是不可能的。他非常自信，斷言「不存在不可解的問題」。 遺憾的是，「希爾伯特計劃」在他 1930 年光榮引退後隨即慘遭失敗。1930 年 9 月 7 日， 時年 25 歲的哥德爾（Kurt Friedrich Gödel，1906-1978）發表了著名的「不完備性定 理」：「如果數學是一致的， 那麼它就是不完備的」。具體地說，哥德爾證明了：任何 一個包含算術系統在內的數學系統不可能同時是完備的和一致的。換句話說，人們如果能 在一個數學系統中做算術的話，那麼這個系統或者是自相矛盾的，或者存在一些結論在這