曲线与方程是平面解析几何的学科观点.PDF

“曲线与方程”是平面解析几何的学科观点 在平面解析几何的教学中，“曲线与方程”的学科思想要贯穿始终.让学 生能够深刻地体会到用代数的方法研究几何问题的思维过程是这样的：在几何上， 动点运动形成轨迹.这个轨迹是什么样的呢？这就需要将动点放在直角坐标系这 样的背景下，去研究动点运动的规律的代数形式，即与动点运动所形成的轨迹等 价的关于动点坐标(x,y ) 所满足的方程f (x ，y )=0 .并通过研究这个方程f (x ，y )=0 ， (x,y ) . 我们来判断出动点 运动的几何规律这就是平面解析几何的思考问题和解决 问题的过程，是“曲线与方程”的学科思想内化到平面解析几何的思维逻辑的过 程. 下面，通过几个具体的解析几何的问题的解决过程进一步体会“曲线与方 程”这一学科观思想在思维逻辑确立过程中的运用. x y 问题1：若直线  1通过点M (cos，sin) ，则（ ） a b A ．a2 b2 ≤1 B．a2 b2 ≥1 C ． 1  1 ≤1 D． 1  1 ≥1 a2 b2 a2 b2 分析：对本题理解不到位的学生常常是把点M (cos，sin) 的坐标直接 x y 2 2 带入到直线方程  1，再通过复杂的三角恒等变换，得到有关a ,b 所满足 a b . 的不等关系这是解析几何的学科思想不到位的表现，也是没有真正地理解问题 所致. 实际上，从解析几何的学科思想看，点M (cos，sin) 不能仅仅把它看 成是一个已知坐标的一个点，而应分析点 M (cos，sin) 具有的几何特征：它并 . 不是一个确定的点，而是动点既然是动点，我们就需要知道它是按着什么样的 . M (cos，sin) 规律来运动的如果有这样的思维，就不难知道 的坐标实际上是满 x2 y 2 1 M (cos，sin) . 足方程 的，也就是动点 运动形成的轨迹是单位圆因此， x  y 1 M (cos，sin ) x  y 1 所谓的“直线 通过点 ”实际上是“直线 与圆 a b a b 2 2 x y 2 2 x y 1有交点”，至此直线  1与圆x y 1的位置关系得到了明确， a b . (0,0) 是相切或相交，我们也就可以进行相对应的代数化了 即圆心 到直线 x y 2 2  1 x y 1 . 的距离