五节稳定性和代数稳定判据.ppt

（三）劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 判定控制系统的稳定性 [例] 系统的特征方程为： ，判断系统的稳定性。 [解]：排列劳斯阵如下： 因为， ，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。 由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。 3.5.3 代数稳定性判据--劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 [例]：系统的特征方程为： 试用胡尔维茨定理判稳。 [解]：系统的特征方程为： 列胡尔维茨行列式如下： 所以，系统是稳定的。 注意：由于 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。 3.5.3 代数稳定性判据--劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 [例3]系统的特征方程为： 该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。 [解]：劳斯阵如下 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得： 其导数为： 将4，48或1，12代替 行，可继续排列劳斯阵如下： 劳斯阵第一列系数全为正，所以系统稳定 因为 行全为零，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下： 3.5.3 代数稳定性判据--劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 设剩余的一个根为-p。则： ，整理得： 比较系数得：-p= -2 极点分布如下： 注意： 劳斯判据实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。 若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅助方程求出。 3.5.3 代数稳定性判据--劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数 。 例： 考虑如下图所示的导弹航向控制系统。图中，Tm0,Tf0，试确定系统稳定时放大系数K的取值范围。 解：闭环传递函数为： 特征方程为： 3.5.3 代数稳定性判据--劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。 3.5.1 线性控制系统的稳定性 [定义一] 如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。 该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳定的。 线性控制系统稳定性的定义 3.5.1 线性控制系统的稳定性—定义 [定义二]在有界输入－有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output)意义下的稳定性定义：若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的，否则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不稳定的。 有界输入－有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系统的行为。 尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但对线性定常系统来说，系统稳定与否完全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。 3.5.1 线性控制系统的稳定性--定义 设系统或元件的微分方程为： +取决于初始条件的多项式 式中：x(t)—输入，y(t)—输出 为常系数。将上