一个连通但非线连通的例子.PDF

一個連通但非線連通的例子 * bee 104.10.24 104.10.24 我們想造一個平面上的連通集(connectedset) ，但是越弱越好， 弱到不會線連通 (non-path-connectedset) ！ 1. 從有理數下手 有理數，有稠密性，所以被考慮，我們先找 。 很糟糕的是：以原點 為圓心， 為半徑的「開圓盤內部」當作 ，「圓盤外部」當作 ， 就被 「切開了」(這裡不知道有啥數學上的專用說法，另這一個方法說明 上切開 一個集合 的方法，就是找一個特殊的線(就是邊界) ，把 分成兩部分。但邊界上沒有 的元 素) 。 加強一下：找 。 如果 被兩個開集合 分割了，並假設原點 在 中，那麼根據開集合的定義，可 以找到一個無理數的半徑 ，使得開圓盤 ，但是，這次， 不可能取代 ，因為 的邊界上有 上的點，顯然， 不夠大，於是，把 往上往下分別延伸，得 到一長條狀 ，把這集合當作 ， 當作 ，又可以將 「切開了」。 　 *bee 美麗之家: http:/.tw/bee 1 2. 請無理數幫忙 以 軸為界，上下錯位。找 。 一樣考慮 ，使得 ，由前面的經驗可知，若 1. ，上下延伸時，邊界上會有 點。 2. ，上下延伸時，邊界上會有 點。 　 換言之， 是不夠大去取代 的，不管 是多少都是如此，因此 ， 只好 是空集合，做不成「切開」，那就是連通囉！ 3. 線連通嗎？ 既然 是連通的，接下來我們看看它是不是「線連通」。 在 軸上任意找兩個相異點 ，顯然 都是無理數，如果將它們之間接 上一條曲線，這一條曲線必然會與所有的鉛直線 有交點。 如此，不管是在 軸的上方或者是 軸上，或者是 軸的下方，都會出現破洞，於是，「非線 連通」是很顯然的。 　 2 4. 補充說明 在上面的說明中，我利用了如果 是一個集合 的分割方法，則 的邊界上，不應該 有 上的點。即 定理1. 若 皆為open set ， ∅ ，且 ，則 ∅ 。 這道理很直觀：如果 是 的一個「切開法」，那麼顯然 也是 的一個「切開法」，即 ∅ 。因為 就是 中最大的開集合，即 。若 ̸ ∅ ，即 無法切開 ，當然 也切不開 。 　 5. 上面的說法嚴密嗎？ 我在Apostal 書上看到有其他定理，但是沒有時間細看，應該有用，嗯！ 也許你覺得不嚴密！但是我認為這是建構者的原始想法，妙極！ 數學是說理的東西，證明的目的在於理解，你