比例线段与相似性质和判定.doc

比例线段与相似性质和判定 内容 基本要求 略高要求 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 一、比例的性质 1．这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．(反比定理); 3．(或)(更比定理); 4．(合比定理); 5．(分比定理); 6．(合分比定理); 7．(等比定理). 二、成比例线段 1．比例线段 对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的项 在比例式（）中，称为比例外项，称为比例内项，叫做的第四比例项． 三条线段（）中，叫做和的比例中项． 3．黄金分割 如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点，其中，，与的比叫做黄金比． 三、平行线分线段成比例定理 1．定理 ，截得的对应线段成比例． 2．推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为． 当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有． 考点一：比例的性质 ?考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质 若，则的值为________ 【答案】 【巩固】设，则_______ 【解析】由及比例的性质可知：．也可用“过渡量”来求！ 【答案】 ，则的值为_________ 【答案】或[提示：等比性质，若时，，若，则] 已知，求的值 【解析】解法一：设，则．∴． 解法二：由得．∴． 【答案】． 已知：．求. 【解析】设，代入中得原式 【答案】如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则 ________，________． 【解析】点是靠近点的黄金分割点，∴，即，又∵点是靠近点的黄金分割点，∴，∴ 【答案】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求． 【解析】，∴． ． ∵， ∴． 【答案】． 如图，，且，若，求的长． 【解析】 【答案】如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，故正确．由，可得，故正确．由，可得，而，∴错误．如图，中，为边的中点，延长至，延长交的延长线于．若，求证:． 【答案】过点作的平行线，交于点． 老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题： 的等边，，，则的长为_____ 【答案】 如图，在中，、，若，，则的长为________ 【答案】 [提示：设，则，，， 代入即可求得] 已知，如图在平行四边形，为上任一点，连接交的延长线于 求证： 【答案】证明过程略。[提示：，] 考点四：梅涅劳斯定理 ?考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多，需要熟练掌握该定理以提高解题速度 梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边、、或其延长线交于、、点，那么．这条直线叫的.梅氏线，叫梅氏三角形． 证法一：如左图，过作 ∵， ∴． 证法二：如中图，过作交的延长线于 ∴，， 三式相乘即得：． 证法三：如右图，分别过作的垂线，分别交于． 则有， 所以如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______. 【答案】2 【解析】以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看为直线所截，由梅涅劳斯定理可知， 又，，故 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法. 如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点. （1）当时，求的值； （2）当时，求的值； （3）试猜想时的值，并证明你的猜想. 【答案】（1）；（2）当时，；当时，（3）当时， 【解析】梅氏定理，看被直线所截可知 ，而，，故. 如图，是的中线，点在上，是延长线与的交点. （1）如果是的中点，求证：； （2）由（1）知，当是中点时，成立，若是上任意一点（与、 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立 在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交于、两点，求证： 【解析】看成梅式三角形，看成梅氏线，故