浅谈奥林匹克数学的解题策略 论文.doc

学号 成绩 河 南 教 育 学 院 本科自考助学 毕 业 论 文 题 目 浅谈奥林匹克数学的解题策略 院 系 数学系 专 业 数学教育 姓 名 年 级 2012级一班 指导教师 二零一三年九月九日 策略，按字面上的意义是战略、计谋，是指一种总体的行动方针，而非具体的方法。现代认知心理学的研究表明，如果主体所接触到的不是标准的模式化的问题，那么就需要进行创造性的思维，需要有一种解题“策略”，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。 在实际情况下，奥林匹克数学问题大多没有固定的模式可循，它要学生去“解一些要求独立思考，思路合理，见解独特和有创造性的问题”。因而，其思维过程是复杂的，对其解题策略的研究也是一项极其困难的任务。本文拟结合竞赛问题，对若干主要的解题策略及其方法进行概括性的分析。 构造法 构造性解题方法是一古老而又崭新的科学方法，常简称为构造法。构造法的实质是根据某些数学问题的条件或结论所具有的特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式，从而使问题转化并得到解决的方法。在思维方式上，构造法常常表现出简捷、明快、精巧等特点，常使数学解题突破常规，另辟蹊径。 利用构造法构造出来的数学对象，所涉及的面广，如数、式、方程、不等式、函数、命题、“抽屉”、程序等等。 例1：已知x0,y0,且x + y =c,求z =的最小值，（a ,b ,c 为常数） 分析：如图所示分别将，看作是Rt△ABD与Rt△BCE的斜边，点B是线段AC上的动点，AB = x，BC = y,AD = a, CE = b, AC = c,作点D关于直线AC的对称点，连接E交AC于点B，则== 例2：试问方程：x1+x2+x3+…+x1001=2002 有多少组不同的正整数解？ 分析：可以构造这样的一个对应关系：将2002个 相同的球排成一行，则它们之间有2001个间隔， 现将1000块板插入这2001个间隔中，（每个间隔 只能插入一块板）则显然每一组插法与原方程的 每一组解产生了一一对应关系，而此时板的插法比较容易求，即2001个间隔中任选1000个间隔分别插入一块板，显然共有种不同的插法，所以原方程共有组不同的正整数解。 例3：已知x , y, z,为正数，且xyz(x + y + z) =1求表达式（x + y ）(y + z)的最小值。（全苏数学竞赛，1989） 分析：构造一个△ABC，其中三边分别为 则面积为S△= （其中p= (a + b +c)） = =1,另一方面，（x + y）(y + z)==2 时，取得最小值，即 y (x + y + z) =时，（ x + y）(y + z)x = z =1,y =时，（x + y）. 例4：试证：在半径为1的圆周上存在n个点，它们中任意两点的距离为有理数。（第17届IMO，1975） 分析：构造= (k = 1,2,3,…n),则点A(Cos2,Sin2)在单位圆周上。 当1 k ,m时，考察单位圆周上任意两点A，A间的距离 =（Cos2 -Cos2） +(Sin2 -Sin2) = = =. 为有理数，命题获证。 二：问题转化法 问题转化，也称之为化归，是数学家特别善于使用的策略，在奥林匹克数学中也经常用到。当接触到的问题难以入手时，那么思维不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉而容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。 化归表现了思维的变通性和流畅性。苏联数学家雅珞夫基斯卡亚指出“解题----就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题。” 同原问题相比，化归后的新问题必须是已经解决或较为熟悉、简单的问题。 例5：设S =|lg}试求S的元素的个数（全国高中联赛，1990） 分析：由得 。。。。。。。。。。。（1*） 因此S的元素个数就等价与满足（1*）式的有序数对组数问题，注意到=xy= 故利用算术与几何均值不等式，有： =（当且仅当==时等号“=”成立） 这样，我们又将问题化归为求方程组： 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（2*）实数解的组数 容易求得（2*）的解为，即S的元素个数为1， 本题中，我们首先将抽象的集合语言转化为通常所熟悉的数学式子，从而将S元素个数问题化归为一个方程，不等式混合组的解的组数问题，再利用算术与几何均值不等式，我们又将其化归为求解一个十分简单的方程组问题。 例6：甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛。