北京林业大学《高等数学B》李扉-1-3.PPTVIP

* * * * * * * * * * 思考题 ( A) 先给定 后唯一确定 ; 极限定义中 与 的关系是( ). ( C) 先确定 后给定 ; (D) 与 无关. B (1) ( B) 先给定 后确定 ,但 的值不唯一; * (2) 如果 与 存在,则( ). (B) 存在但不一定有 (C) 不一定存在; (D) 一定不存在. (A) 存在且 C * 函数极限的统一定义 (见下表) * 过 程 时 刻 从此时刻以后 过 程 时 刻 从此时刻以后 * 作业 习题1-3 (37页) 1； 5（3）；6（2） * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 函数极限的性质 函数在无穷远点的极限 函数在一点的极限 第三节 函数的极限 第一章 函数与极限 一、函数在无穷远点(infinite point)的极限 怎样用数学语言刻划？ 表示 表示 * 1. 定义 定义1 记作 或 * 2. 另两种情形 * 图形 完全落在: * 例 证 要使 成立. 只要 有 * 证 A x f x = -￥ ? ) ( lim 已知 则对 当 时， 对上面的 由 A x f x = -￥ ? ) ( lim 则 当 时， 取 则当 时，有 或 因而有 * 解 显然有 可见 和 虽然都存在, 但它们不相等. 故 不存在. 例 讨论极限 是否存在? * 二、函数在一点(one-point)的极限 * * 1.定义 定义2 设函数 有定义. 记作 或 恒有 在点x0某去心邻域内 * 注 (1) 定义中的 所以 f (x)有没有极限与f (x)在点x0 是否有定义并无关系. (2) 定义中 标志x接近x0的程度, 也将越小. (3) 不要求最大的 表示 它与 一般地说, 越小, 只要求 存在即可. 有关. * 必存在x0的去心邻域 对于此邻域内的 x, 对应的函数图形位于这一带形区域内. 作出带形区域 * 一般说来, 应从不等式 出发, 推导出应小于怎样的正数, 这个正数就是要找的与 相对应的 这个推导常常是困难的. 但是, 注意到我们不需要找最大的 所以 适当放大些, 的式子, 变成易于解出 找到一个需要的 找到 就证明完毕. 可把 * 例 证 任 * 例 证 * 例 证 函数在点 处没有定义. 要使 * 3. 左、右极限(单侧极限) 例如, 两种情况分别讨论! 记作 记作 * 左极限 右极限 使得 时, 或 使得 时, 或 或 或 * 注 且 性质常用于判断分段函数当x趋近于 分段点 时的极限. * 试证函数 证 左、右极限不相等, 故 例 * 左、右极限存在, 证 故极限不存在. 例 但不相等, 讨论 的存在性. x x x - = - ? 0 lim * 设函数 答案 * 总结一下 x的趋向一共有六种: * 函数极限与数列极限相比,有类似的性质, 定理1(极限的唯一性) 则极限值必唯一. 且证明方法也类似. 三、函数极限的性质 * 定理2(局部有界性) f(x)有极限, 则f(x)在 上有界 证：因为 所以取 则 当 时，有 记 上述定理得证. * 定理3(局部保号性) 自己证 证 (1) 设A0, 取正数 即 有 * 只要取 便可得更强的结论: 定理3 的证明中, 不论 定理 * 若定理3(2)中的条件改为 必有 不能! 如 是否 * 注 以上定理也适用于其它极限过程 等(包括单侧极限), 其结论只 需根椐其极限过程, 的自变量范围. 改动使不等式成立 和 * 1. 函数极限的 或 定义; 2. 函数极限的性质 局部保号性; 四、小结 唯一性; 局部有界性; 函数极限与数列极限的关系; 3. 函数的左右极限判定极限的存在性. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *