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* * * * * * * * 无穷小(infinitely small) 无穷大(infinitely great) 无穷小与无穷大的关系 第四节 无穷小与无穷大 第一章 函数与极限 * 1. 定义 如, 一、无穷小 无穷小是指 函数变化的趋势. 在某个过程中 * 1) 无穷小是函数不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 注 “无穷小量”并不是表达量的大小,而是表达它的变化状态的. “无限制变小的量” * 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1 时的无穷小 证 恒有 也即 * 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 定理2 仍是无穷小. 3. 无穷小的运算性质 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注 不是无穷小. * 证 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 则当 恒有 . , 0 为无穷小 时 当 a × ? \ u x x * 在同一过程中,有极限的变量与无穷小 常数与无穷小的乘积是无穷小; 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小. 推论1 的乘积是无穷小; 推论2 推论3 * 二、无穷大 绝对值无限增大的函数称为 无穷大. 如, * 定义2 记作 * 特殊情形: 正无穷大,负无穷大． 定义 * (1) 无穷大是函数,不能与很大的数混淆; 无穷大一定是无界函数, 注 (3) 无穷大与无界函数的区别: 它们是两个不同的概念. 未必是某个过程的无穷大. 但是无界函数 * 如 是无界函数, 但不是无穷大. 因为取 而取 当 所以 f (x)不是无穷大! * 证 例 * 的图形的 铅直渐近线(vertical asymptote). 结论 * 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 三、无穷小与无穷大的关系 关于无穷大的讨论, 意义 无穷小的讨论. 都可归结为关于 * ? 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; ? 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; ? 有非零极限的变量(或无穷大)与无穷大之 积仍为无穷大; 容易证明 * 无穷小的概念; 无穷小的运算; 无穷小与函数极限的关系; 无穷大的概念; 无穷小与无穷大的关系. 四、小结 * 思考题 1993年考研数学三, 3分 A. 无穷小量 B.无穷大量 C. 有界量非无穷小量 D.无界但非无穷大量 D * 作业 习题1-4 (41页) 1； 2(2); 4；5 (书)；6 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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