北京林业大学《高等数学B》李扉-1-8.PPTVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 总结两类间断点: 第一类间断点: 跳跃型, 第二类间断点: 无穷型, 可去型 无穷次振荡型 极限与连续之间的关系: f(x)在x0点连续 f(x)在x0点存在极限 * 解 函数无定义, 是函数的间断点. 由于 所以 是函数的第二类间断点, 且是无穷型. 并指出其类型. * 由于 所以 是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. - ? 1 x + ? 1 x * 设 * 解 因为 所以 必需且只需 即 必需且只需 即 * 无穷型, 无穷次振荡型 三、小结 1. 函数在一点连续的三个定义、必须满足的 2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类: 间断点 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 三个条件; * 可去型 第一类间断点 跳跃型 * 无穷型 无穷次振荡型 第二类间断点 * 思考题 (是非题) 是 * 非 如 处处连续. 但 不连续. * 作业 习题1-8 (64页) 2.(1) 3.(2) (4) 4. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第八节 函数的连续性 与间断点 函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) * 间变化很小时,生物生长的也很少. 在函数关系上的反映就是函数的连续性. 在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小. 时 这种现象 * 在高等数学中,主要的研究对象就是连续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的, 也就是说,可以 一笔画成. * 1. 函数的增量 自变量 称差 为自变量在 的增量; 函数随着从 称差 为函数的 增量. 一、函数的连续性 * 如图: * 连续, 2. 连续的定义 定义1 设函数 f (x)在 内有定义, 若 则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的 连续点. 充分必要条件 * 定义2 若 则称函数f(x)在x0处 连续. 把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法——只需求出该点函数特定值. * 定义3 把极限定义严密化,便于分析论证. * 连续性的三种定义形式不同, 这三种定义中都含有 但本质相同. f (x)在 内有定义; (1) (2) (3) 三个要素: 存在; * 注 某一邻域而言. 由上述定义可知, f(x)在x0点的连续性 是描述 f(x)在x0点邻域的性态的. 即它是对 因此在孤立点处无连续可言. * 一般讲,证明的命题用函数连续的定 义1方便; 是判断分段函数在分界点处是否连续用 判断函数在某点是否连续, 尤其 定义2方便. * 例 证 都是连续的. 即 类似可证, 是连续的. * 例 证 定义2 试证函数 处连续. * 3. 左、右连续 左连续(continuity from the left); 左连续 * 右连续(continuity from the right). 右连续 * 定理1 此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性. * 例 解 右不连续. 所以 左连续, * 4. 连续函数(continous function)与连续区间 上的 或称函数在该区间上连续. 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 这时也称该区间为 连续函数, 连续区间. * 在开区间 右连续 左端点 右端点 continuous 左连续 内连续 * 关于连续函数, 有一个对某些问题的推理很有用的定理. 定理2 的一个邻域, 使得在此邻域内 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 连续函数的图形 * 例如, 有理整函数(多项式) 内是连续的. 因此有理整函数在 第五节中已证 * 因此有理分式函数在其定义域内的每一点 有理分式函数 只要 都有 都是连续的. * 定义4 出现如下三种情形之一: 二、函数的间断点及其分类 无定义; 不存在; 间断点. * 间断点分为两类: 第一类间断点(discontinuity point of the first kind): 及 均存在, 若 称 为可去间断点. 若 称 为跳跃间断点. 第二类间断点(discontinuity point of the second kind): 及 中至少一个不存在. 若其中有一个为振荡, 若其中有一个为 称 为无穷间断点. 称 为振荡间断点. * 例 由于函数 无定义, 故 为f(x)的 间断点. 且 皆不存在. 第二类 且是无穷型间断点. * 例 有定义, 不存在, 故 为f (x)的