北京林业大学《高等数学B》李扉-1-9.PPTVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 四则运算的连续性 反函数与复合函数的连续性 初等函数的连续性 第一章 函数与极限 * 定理1 则 一、四则运算的连续性 也在点 x0连续; 在点 x0连续; 在点 x0连续. * 如, 由于 在其定义域内连续. * 如, 定理2 故 同理, 二、反函数与复合函数的连续性 单调增加 且连续, 单调的连续函数 必有单调的连续反函数. 也是单调增加且连续. 单调减少且连续. 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续 单调增加且连续. 单调减少且连续. * 此定理对计算某些极限是很方便的. 定理3 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 而函数 连续, 则 )] ( [ x g f y = ) ( u f y = ) ( x g u = , ) ( lim 0 0 u x g x x = ? 若 0 u u = 在 ) ( u f y = ). ( 0 u f = 意义 可交换次序; 2. 变量代换 的理论依据. 1. 在定理的条件下, * 证 , 0 时 使当 h - u u * 将上两步合起来: * 例 解 由 所以 . sin e = * 例 解 这里 不连续, 但 所以 * 例 解 同理可得 * 定理4 设函数 是由函数 与函数 复合而成, 若函数 连续, 而函数 连续, 则复合而成 也连续. )] ( [ x g f y = ) ( u f y = ) ( x g u = 0 ) ( x x x g u = = 在 , ) ( 0 0 u x g = 且 0 ) ( u u u f y = = 在 )] ( [ x g f y = 0 x x = 在点 * 是由连续函数 因此 复合而成 例 * 三角函数及反三角函数 (1) (2) 是连续的; 三、初等函数的连续性 单调且连续; 指数函数 在它们的定义域内 * (3) 对数函数 单调且连续; (均在其定义域内连续 ) (4) 幂函数 连续; 讨论 不同值. 基本初等函数在定义域内是连续的. * 基本初等函数在其定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 * 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 注　 在其定义域内不一定连续; * 例 解 2. 初等函数求极限的方法 注　 代入法. * 例 解 * 解 2002年考研数学三, 填空题, 3分 * 四、小结 连续函数的和差积商的连续性; 复合函数的连续性: 初等函数的连续性: 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数的连续性; 定义区间与定义域的区别; * 解答 思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? 连续, (1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续, 则f (x) + g(x)在点x0必不连续. * 用反证法证之: 不妨设在点x0, 并假设 f (x) + g(x)在点x0连续, 则由连续函数的运算性 质有: 在点x0连续, 与已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在点x0不连续. f (x)连续, g(x)不连续; * 解答 思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续, (2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则 在f (x) + g(x)在点x0可能连续, 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? 也可能不连续. 如: 在 x = 0处均不连续, 在 x = 0处 在 x = 0处连续. * 在 x = 0处均不连续, 在 x = 0处亦不连续. 思考题1 如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续, 那么, f (x) + g(x)在该点是否连续? * 作业 习题1-9 (69页) 3. 4. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *