北京林业大学《高等数学B》李扉-1-10.PPTVIP

* * * * * * * * 第十节 闭区间上连续函数 的性质 介值定理( intermediate value theorem ) 最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理 第一章 函数与极限 * 定义 例 设f (x)在区间I上有定义, 使得当 恒有 若存在点 为函数f(x)在区间I上的 最小 值, 记为 则称 (大) 一、最大值和最小值定理 * 在闭区间上连续的 定理1(最大值和最小值定理) 函数一定有最大值和最小值. * 注 (1) 定理1中的条件“闭区间”和“连续性” 是不可少的. 在开区间(0,1)内连续, 在(0,1)内 如: 函数 没有最大值或最小值. * 又如: 在闭区间[0,2]上有 函数f (x)在[0,2]上 既没有最大值, 也没有最小值. 间断点 函数 * (2) “闭区间”和“连续性” 在开区间 取得最小值 而不是必要条件. 如 函数 内连续, 但它在 处取得最大值1; 仅是定理的充分条件, * 证 由定理1(最值定理), 定理2(有界性定理) 有 * 的零点. 定理3(方程实根的存在定理) 使得 零点定理 几何意义: 如图所示. 二、介值定理 * 定理4(介值定理) 使得 * 证 辅助函数 * 几何意义: 至少有一个交点. * 几何意义: 之间的任何值(不会有任何遗漏). 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 * 注 闭区间上连续函数的性质常用于: 证明某些等式或不等式; 判断某些方程根的存在性或实根的范围. * 例 证 由零点定理, * 例 证 由零点定理, 使 * 证 例 证明: 令 使 即得 * 证 则 零点定理 且 * 注意条件　1. 闭区间; 2. 连续函数． 这两点不满足上述定理不一定成立． 三、小结 闭区间上连续函数的性质 最值定理;有界性定理;零点定理;介值定理. 四个定理 * 作业 习题1-10 (74页) 1. 2. 3. 5. 闭区间上连续函数的性质 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *