北京林业大学《高等数学B》李扉-2-1.PPTVIP

例 解 即 例 解 即 1.几何意义 即 四、导数的几何意义与物理意义 特别地: )) ( , ( ) ( , 0 ) ( ) 1 ( 0 0 0 x f x x f y x f 在点 则曲线 若 = = ￠ ; 轴 的切线平行于 Ox 例 解 得切线斜率为 由导数的几何意义, 所求切线方程为 法线方程为 即 即 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 路程对时间的导数为物体的瞬时速度; 变速直线运动 电量对时间的导数为电流强度; 为物体的线(面,体)密度. 交流电路 非均匀的物体 质量对长度(面积,体积)的导数 该点必连续. 定理 如果函数 则函数在 五、可导与连续的关系 在点x处可导, 证 即 函数极限与无穷小的关系 所以, 如, 该定理的逆定理不一定成立. 注 连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件. 例 解 为了使 f(x) 在x0处可导, 解 首先函数必须在x0处连续. 由于 故应有 应如何选取a,b ? 又因 从而, 当 f(x) 在x0处可导. 导数与微分 引例 导数的定义 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系 求导举例 第一节 导数的概念 (derivative) 第二章 导数与微分 例1 直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动, 已知路程 s 与时间 t 的 试确定t0时的瞬时速度v(t0). 一、引例 关系 这段时间内的平均速度 在每个时刻的速度. 解 若运动是匀速的, 平均速度就等于质点 质点走过的路程 , 0 0 t t t D + ? 从时刻 它越近似的 定义为 并称之为t0时的瞬时速度v(t0). 若运动是非匀速的, 平均速度 是这段 时间内运动快慢的平均值, 越小, 表明 t0 时运动的快慢. 因此, 人们把 t0时的速度 0 lim ? D t 此式既是它的定义式,又指明了它的计算 瞬时速度是路程对时间的变化率. 注 方法, 例2 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 如何作过 的切线呢. 初等数学中并没有给出曲线切线的定义. 过该点的切线. 我们知道与圆周有唯一交点的直线 即为圆周 但此定义不适应其它曲线. 如 与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线. 曲线上点 割线的极限位置—— 对于一般曲线如何定义其切线呢? 切线位置. 法国 数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法, P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题. 处切线的斜率. 已知曲线的方程 确定点 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT, 极限位置即 C在点M处的切线. 如图, 割线MN的斜率为 切线MT的斜率为 0 lim x x ? 就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性: 但在数量 上述两例, 分别属于运动学、几何学中的问题, 1. 在问题提法上,都是已知一个函数 求y关于x在x0处的变化率. 2. 计算方法上, (1) 当y随 x均匀变化时,用除法. (2) 当变化是非均匀的时,需作平均变化率的 在现实生活中,凡涉及变化率的问题,其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算. 极限运算: 定义 函数 与自 平均变化率. 二、导数的定义 存在, 平均变化率的极限: 函数在一点 处的变化率 (derivative) 或有导数. 则称此极限值为 中的任何一个表示, 如 或 可用下列记号 处不可导或导数不存在. 特别当(1)式的极限为 有时也说在x0处导数是正(负)无 当极限(1)式不存在时, 就说函数 f (x)在x0 正(负)无穷时, 穷大, 但这时导数不存在. 注 要注意 导数定义可以写成多种形式: 在利用导数的定义证题或计算时, 或 如果 x0= 0,可以写成 特别是, 关于导数的说明 (1) 点导数是因变量在点x0处的变化率, 它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. (2) 如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可 导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导. 记作 (3) 对于任一 都对应着 f (x)的一个确定的 导数值. 这个函数叫做原来函数f (x)的 导函数. 注 即 或 例 用导数表示下列极限 h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 - + = ￠ ? × 3 5 解 解 h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 - + = ￠ ? 右导数 4. 单侧导数 左导数 (left derivative) (right derivative) 又分别可以解释为曲线 点的左切线的斜率与右切线的斜率. 从几何上 处的可导性. 此性质常用于判定