北京林业大学《高等数学B》李扉-2-2.PPTVIP

例 解 例 解 2 2 2 1 2 x a x - × + 2 2 2 2 x a x - - 2 2 2 2 x a a - + 例 解 例 解 因为 所以 的情形证明幂函数的导数公式 m 1 ) ( - = ￠ m m x x 1. 常数和基本初等函数的导数公式 四、基本求导法则与导数公式 2. 函数的线性组合、积、商的求导法则 都可导, 则 , ) ( ) 1 ( v u v u ￠ + ￠ = ￠ + b a b a . ) ( ) 2 ( v u v u v u ￠ + ￠ = ￠ ). 0 ( ) 3 ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ ÷ ? ? ? è ? v v v u v u v u 3. 反函数的求导法则 或 且 , 内也可导 x I 4. 复合函数的求导法则 初等函数的导数仍为初等函数. 注 利用上述公式及法则初等函数求导问题 可完全解决. 证明下列双曲函数与反双曲函数的导数公式: 例 , ch 1 ) th ( 2 x x = ￠ , 1 1 ) arsh ( 2 x x + = ￠ , 1 1 ) arch ( 2 - = ￠ x x . 1 1 ) arth ( 2 x x - = ￠ 证 x 2 ch = x x ch ) sh ( ￠ x x sh ) ch ( ￠ x x x 2 2 2 ch sh ch - = x 2 ch 1 = 证 2 1 1 ) arsh ( x x + = ￠ = ￠ \ ) arsh ( x 2 1 1 x x + + ) 1 ( 2 ￠ + + × x x 例 解 . ) th arctan( 的导数 求函数 x y = x x 2 ch 1 ) th ( = ￠ 例 解 例 解 例 解 所以 例 解 例 证 (1) 求交点 作的曲线的切线彼此平行. 由于斜率相等,知二切线平行. 分别为曲线在A, B点 的切线斜率. (2) 求导数 解 . 1 sin arctan 的导数 求函数 ÷ ? ? ? è ? - = x e x y 解 则 ( ) . , 3 sin 可导 其中函数 的导数 求 f x f y = 注 上式中 是函数 f 对括号中的中间 变量求导, ? ) 3 (sin x f ￠ ] ) 3 (sin [ ) 3 (sin ￠ = ￠ x f x f 导数与微分 函数的线性组合、积、商的求导法则 第二节 函数的求导法则 第二章 导数与微分 反函数的求导法则 基本求导法则与导数公式 复合函数的求导法则 定理1 并且 则它们的线性组合、积、商 在点 x处也可导, 一、函数的线性组合、积、商的求导法则 = ￠ ú ? ù ê ? é ) ( ) ( ) 3 ( x v x u 证 则由导数的定义有 ), ( ) ( ) ( x v x u x f b a + = 设 h x v x u h x v h x u h )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ lim 0 b a b a + - + + + = ? )] ( ) ( [ x u h x u - + a )] ( ) ( [ x v h x v - + b )] ( ) ( [ x u h x u - + a )] ( ) ( [ x v h x v - + b 证 设 ,则由导数的定义有 证 由乘积的导数: 得 故 即 推论 且 特别 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 例 解 同理可得 即 x x x cot csc ) (csc × - = ￠ 解 法一 法二 注 在进行求导运算中, 且也能提高结果的准 这样使求导过程简单, 尽量先化简再求导, 确性. 用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致, 这是为什么? 如已知 无意义, 解 所以, 不存在. 上述解法有问题吗? 注意问题出在 不连续. 因此 可能在不连续点处不代表该点处的导数值. 用定义! 或 第一章第九节定理2: 单调的连续函数必有单调的连续反函数. 定理2 且 二、反函数的求导法则 证 连续, 故 从而 有 因 y x x y D D = D D 1 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 反函数 设函数f : 单射 则它存在逆映射 称此映射 为函数f 的 反函数. (1) 定义 反函数(inverse function) 习惯上, 的反函数记成 如 单射 反函数 直接函数 通常将 写作 一般地, 直接函数与反函数的图形 直线 对称. 关于 例 解 单调、可导, 直接函数 反函数