北京林业大学《高等数学B》李扉-2-3.PPTVIP

导数与微分 高阶导数的定义 莱布尼茨(Leibniz)公式 第三节 高阶导数 第二章 导数与微分 几个基本初等函数的n阶导数 问题:变速直线运动的加速度. 高阶导数也是由实际需要而引入的. 这就是二阶导数的物理意义 一、高阶导数的定义 定义 存在, 二阶导数. 记作 三阶导数的导数称为 二阶导数的导数称为 三阶导数, 四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数. n阶导数, 记作 一般地, 由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法. 例 解 例 解 二、几个基本初等函数的n阶导数 则 例 解 例 解 例 解 同理可得 即 求n阶导数时, 关键要寻找规律, 注 另外在 的规律性,写出n 阶导数. 便可看出规律; 一般求至三阶, 求导过程中不要急于合并, 分析结果 例 解 2 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 - - - - - = ￠ x x y 求n阶导数需要运用技巧 函数的n阶导数公式,使问题简化. 尽可能化为求某些熟知 (通过四则运算, 变量代换,恒等变形) 几个常用高阶导数公式 例 解 若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形. 例 解 分析 此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出来. 因为 其中 为x的5次多项式, 故 又是求6阶导数, 莱布尼兹公式 用此公式可以简便地求出乘积的高阶导数 可类比着牛顿二项公式加强记忆 则 莱布尼兹(Leibniz,1646—1727) 德国数学家. 二、莱布尼兹公式 例 解 则由莱布尼兹公式知 设 , sin x u = , 2 x v = 提示 经上面这样变形后再求n阶导数,就方便多了. ) 1 ln( ) 1 ln( x x - - + 高阶导数的定义及物理意义; 莱布尼兹公式. 三、小结 几个常用的基本初等函数的n阶导数公式(希熟记); 思考题 解答 可导 不一定存在, 用定义 作业 习题2-3(103页) 1.(偶) 2. 3. 4. 9. 11. (1)(2) 10.(2) * *