北京林业大学《高等数学B》李扉-2-5.PPTVIP

法二 把导数看作微分之商, 分子,分母分别求微分, 有 用了微分形式不变性. 例 解 四、微分在近似计算中的应用 1. 计算函数增量的近似值 , 很小时 且 x D 例 解 2. 计算函数的近似值 曲线 的切线的表达式. 通常称为函数 的一次近似或线性近似. 附近的近似值 在点 求 0 ) ( ) 1 ( x x x f = 例 解 2. 计算函数的近似值 常用的几个一次近似式 ; 1 1 1 ) 1 ( x n x + ? + 证 = ) ( x f 设 例 解 由公式 ; 1 1 1 ) 1 ( x n x + ? + x n x 1 1 1 + ? + 例 解 (1) (2) 由于测量仪器的精度、条件和方法等各种 因素的影响, 测得的数据往往带有误差, 带有误差的数据计算所得的结果也会有误差, 把它叫做 间接测量误差. 3. 误差估计 而根据 定义 的绝对误差. 的相对误差. 那末 叫做 叫做 , A 如果某个量的精度值为 , a 它的近似值为 的比值 而绝对误差与 a 问题 在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得 办法 将误差确定在某一个范围内. 即 绝对误差限 , 的相对误差限 . 根据直接测量的x值按公式 计算y值时, 如果已知测量x的绝对误差限是 即 那么, y的绝对误差 即y的绝对误差(限)约为 即y的相对误差(限)约为 一般, . | | x y y y y d d × ￠ = 例 解 的绝对误差为 边长 x y的绝对误差(限)约为 面积y的绝对误差(限)为 面积y的相对误差(限)为 = ′ 005 . 0 82 . 4 y的相对误差(限)约为 | | y y d 微分概念 微分的基本思想 微分的几何意义 微分公式与运算法则 五、小结 导数与微分的关系 就是切线纵坐标对应的增量 熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分 以直代曲 导数与微分 微分的定义 微分的几何意义 微分公式与运算法则 第五节 函数的微分 第二章 导数与微分 (differential) 微分在近似计算中的应用 导数 微分 导数与微分 表示函数在一点处由自变量所引起 的函数变化的快慢程度. 是函数在一点处由于自变量微小变化 所引起的改变量的近似值. 有着密切的联系. 正方形金属薄片受热后面积的改变量. 1.问题的引出 实例 线性函数(linear function) 一、微分的定义 的线性(一次)函数, 很小时可忽略. 的高阶无穷小, 再如, 既容易计算又是较好的近似值 一定条件, 线性函数, 则函数的增量 可以表示为 = D - D x A y 对一般函数 则无论在理论分析上还是在实际 如果存在这样的 近似公式, 应用中都是十分重要的. ), ( x f y = = D - D x A y 定义 2. 微分的定义 如果 则称函数 可微(differentiable), A为微分系数 记作 微分(differential), 并称 为函数y=f(x)在点x0相应于 ) ( x o x A D + D × 在这个区间内， 自变量 定理 3. 可微的充分必要条件 即有 满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数A如何确定呢? 微分与导数有何关系呢? 下面的定理回答了这些问题. 证 (1) 必要性 (2) 充分性 求导法又叫微分法 从而 其微分一定是 ) 0 , 0 ( ? ? D a x 注 微分的实质 第一章第七节定理1 (58页) 线性函数, 线性主部. 主部, 所以在 条件下, 0 ) ( 0 1 ￠ x f 的条件下, 近似代替增量 其误差为 因此, 有精确度 较好的近似等式 结论 0 ) ( 0 1 ￠ x f 导数称为微商 称为函数 的微分, 记作 称为自变量的 微分, 记作 注 , ) ( ) 2 ( 的微分 在任意点 函数 x x f y = x 任意点 例 解 几何意义 (如图) 二、微分的几何意义 对应的增量, 增量时; 是曲线的纵坐标 就是切线纵坐标 切线段MP 可近似替代曲线段MN. 求法 三、微分公式与运算法则 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本微分公式 2. 运算法则 例 解 例 解 3. 复合函数的微分法 结论 微分形式的不变性 此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算. 无论x 是自变量还是中间变量, 函数 的微分形式总是 例 解 法一 用复合函数求导公式 法二 用微分形式不变性 在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性. 例 解 例 例 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立. 解 例 解 法一 把 作为一个整体, 关于 有 求导, * *