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第二章 导数与微分 教学要求 典型例题 习 题 课 一、教学要求 1. 理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导与连续性之间的关系. 2. 会用导数描述一些物理量. 3. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性. 4. 了解高阶导数的概念. 5. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法. 6. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数. 例 解 二、典型例题 例 解 分析 不能用公式求导. 法一 故 法二 由导数的定义 消参数t 例 解 先去掉绝对值 在 处连续,且 求 例 解 , 3 2 ) ( lim 2 = - ? x x f x [ ] 2 lim ? x ) 2 ( ) ( - x x f 2 ) 2 ( ) ( lim ) 2 ( 2 - - = ￠ ? x f x f f x 例 解 试确定常数a , b使f (x)处处可导,并求 例 解 1 lim ) ( ) 1 ( ) 1 ( 2 + + + = - - ￥ ? x n x n n e b ax e x x f 设 , b x a + a x f = ￠ ) ( 利用 在 处可导, 即 是否为连续函数? 应有 , b x a + a x f = ￠ ) ( , 1 , 2 - = = \ b a 函数 在该区间上存在, 但 也在该区间上连续. 则肯定 导函数 注 不能断定 在某区间上连续并可导, 例 解 显然当 为初等函数是连续的. 但当 不趋向于任何极限. 因此, 例 解 故 ? ? ? í ì = 1 = 0 ) 0 ( 0 ) 1 sin ( ) ( 3 x f x x x f x F 例 解 两边取对数 x n x 1 1 1 + ? + 例 解 (1) (2) 2002年考研数学二, 3分 设函数 可导, 当自变量 处取得增量 增量 的线性主部为 则 相应的函数 例 解 * *
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