北京林业大学《高等数学B》李扉-3-1.PPTVIP

自证 说明 欲证 只需证在 上 且 使 , ) ( 0 C x f = , 0 ) ( o ￠ x f 例 证 由上式得 设 关键 满足拉氏定理的条件, 由 柯西 Cauchy (法)1789-1859 柯西中值定理 (1) (2) 使得 三、柯西(Cauchy)中值定理 广义微分中值定理 这两个 错 ! 柯西定理的下述证法对吗 ? 不一定相同 x 分析 上式写成 ) , ( ), ( ) ( ) ( ) ( b a f a b a f b f ? ￠ - = - x x 前面对拉格朗日中值定理的证明,构造了 现在对两个给定的函数 f(x)、F(x), 构造 即可证明柯西定理. 辅助函数 辅助函数 用类比法 柯西定理的几何意义 注意 弦的斜率 切线斜率 例 分析 结论可变形为 证 即 满足柯西中值定理条件, 罗尔 定理 拉格朗日 中值定理 柯西 中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系: 推广 推广 这三个定理的条件都是充分条件, 换句话说, 满足条件, 不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件. 而 成立; 不成立. 定理 也可能 应用三个中值定理常解决下列问题 (1) 验证定理的正确性; (2) 证明方程根的存在性; (3) 引入辅助函数证明等式; (4) 证明不等式; (5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助函数 例 分析 将结论交叉相乘得 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( x x x x x g f b g g f a f b a ￠ ￠ = - - ? $ 使得 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b g f g f g f g a f x x x x x x ￠ - ￠ = ￠ - ￠ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ￠ + ￠ - ￠ - ￠ b g f g f g f g a f x x x x x x 辅助函数F(x) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( b g f g f g f g a f x x x x x x ￠ - ￠ = ￠ - ￠ 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = ￠ + ￠ - ￠ - ￠ b g f g f g f g a f x x x x x x 0 )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( [ = ￠ + ￠ - ￠ - ￠ = x x b g x f x g x f x g x f x g a f 证 设辅助函数 因此F(x)满足Rolle定理的条件. ) ( ) ( ) ( x g a f x F ￠ = ￠ ) ( ) ( b g x f ￠ + ) ( ) ( x g x f ￠ - ) ( ) ( x g x f ￠ - 即 得 证毕. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x g f g f g a f ￠ - ￠ - ￠ 0 ) ( ) ( = ￠ + b g f x 试证至少存在一点 使 法一 例 证 用柯西中值定理. 令 满足柯西中值定理条件, 则 f (x) , F(x)在[ 1 , e ]上 分析 ), , 1 ( e ? x . ln cos 1 sin x = x x x 1 ln cos 1 , ln sin ) ( x x f = x x F ln ) ( = 第三章 微分中值定理与导数的应用 因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点 的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态, 要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新 的“桥梁”. 中值定理(mean value theorem) 化率, 指导数在某个区间内所具有的一些重要性质,它们都与自变量区间内部的某个中间值有关. 中值定理与导数的应用 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 第一节 微分中值定理 第三章 微分中值定理与导数的应用 推广 泰勒公式(第三节) 本节的几个定理都来源于下面的明显的 在一条光滑的平面曲线段AB上, ⌒ 至少有 与连接此曲线两端点的弦 平行. 几何事实: 一点处的切线 连续的曲线弧、除端点外处处有不垂直于x轴的切线 . 有水平的切线 罗尔定理 (1) (2) (3) 罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得 一、罗尔(Rolle)定理 如, 费马引理 费马 Ferma