北京林业大学《高等数学B》李扉-3-2.PPTVIP

例 解 第一章第九节定理3 例 解 注 或写成 其中 是指数函数 的一种表示方式. exponent 例 解 1993年考研数学一, 5分 还有别的方法吗? 例 解 数列的极限 转化为函数的未定式的极限! 由于 是 中的一种特殊情况, 所以有 不能用洛必达法则 解 法一 用三次洛必达法则可求得. 法二 结合其它方法用三次洛必达法则可求得. x x e e x x x sin lim sin 0 - - ? 求极限 法三 x x e e x x x x sin 1 lim sin sin 0 - - = - ? 原式 x x e e x x x x x sin 1 lim lim sin 0 sin 0 - - × = - ? ? 1 1 1 = × = 法四 用拉格朗日中值定理 (1) (2) x x e e x x x sin lim sin 0 - - ? 求极限 x e x x e e x x = - - sin sin 同理, 所以, = - - + ? x x e e x x x sin lim sin 0 1 lim 0 = + ? x x e 1 sin lim sin 0 = - - - ? x x e e x x x 1 sin lim sin 0 = - - ? x x e e x x x 均为正数. 解 法一 法二 中值定理与导数的应用 第二节 洛必达法则 第三章 微分中值定理与导数的应用 洛必达 (L‘Hospital) 法国数学家 (1661-1705) 那末极限 定义 型未定式. 或 如, 两个函数 f (x)与F(x)都趋于零或趋于无穷大, 其极限都不能直接利用极限运算 在第一章中看到, 无穷大之商, 法则来求. 意味着关于它的极限不能确定出一般的 未定 不能确定. 而并不是在确定的情况下关于它的极限 结论, 两个无穷小之商或两个 这一节介绍一个求未定式极限的有效方法, 此方法的关键是将 的计算问题转化为 的计算. 其基本思想是由微积分著名 先驱, 从而产生了简 洛必达法则. 后人对他的思想作了推广, 提出的, 17世纪的法国数学家洛必达 (L‘Hospital) 便而重要的 定理1 证 则由条件(1), 必有 可补充定义 ; ] , [ ) 1 上连续 在 x a ), ( ) ( ), ( ) 2 ( 处除外 点 的邻域内可导 在点 a a x F x f 柯西定理 再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 这种在一定条件下 通过分子分母分别求导 注 … (多次用法则) 例 解 例 解 定理2 则 证 则 等价于 用定理1有 注 定理2成立; 例 解 用洛必达法则应注意的事项 只要是 则可一直用下去; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用. (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; 例 解 例 解 解 先把此定式因式分离出来 用法则求极限有两方面的局限性 当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在, 其一, 这时不能使用洛必达法则. 例 解 极限不存在 洛必达法则失效. 可能永远得不到结果! 分子，分母有单项无理式时,不能简化. 其二 用法则求极限有两方面的局限性 如 其实: 杜波塔托夫的一个著名例子. 例 解 注 例 解 n次 . ln : x x e n x l 有 步骤: 关键 或 将其它类型未定式化为洛必达法则可 解决的类型 例 解 例 解 步骤: 例 解 步骤: 三、 型未定式 * *