北京林业大学《高等数学B》李扉-3-5.PPTVIP

例 　　敌人乘汽车从河的北岸A处以1公里/分的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2公里/分．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？ 北 南 西 东 解 建立敌我相距函数关系 敌我相距函数 (1) 得唯一驻点 北 南 西 东 例 某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入? 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 每月总收入为 套 （唯一驻点） 故每月每套租金为1400元时收入最高. 最大收入为 例 解 如图, 解得 唯一驻点 令 因这样的面积有最大值, 为所求. 为所有三角形中面积的最大值. 三、小结 极大值可能小于极小值, 函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得. 极值:局部性概念; 极小值可能大于极大值. 极值与最值的区别 最值: 整体性概念. 极值的判别法 第一充分条件; (合适选择好用 实际问题求最值的步骤. 第二充分条件, 哪个充分条件可简化计算、注意使用条件). 思考题 设 分析 求其在 上的最大值. 常数 中值定理与导数的应用 函数的极值及其求法 最大值最小值问题 第五节 函数的极值与 最大值最小值 第三章 微分中值定理与导数的应用 (extreme value) 定义 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为 极值. 极值点. 极小值(minimal value) 极大值(maximal value) 一、函数的极值及其求法 1. 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多 最小值, 个极值,有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的最大值与 定理1(必要条件) 2. 极值的必要条件 费马引理 如果函数 可导, 处取得极值, 那么 极值, . 0 ) ( 0 = ￠ x f 注 如, (1) 驻点. 可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 但函数的 必是驻点, 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 (2) 不可导. 是极小值点. 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 单减的分界点, 是不是极值点 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, 定理2(第一充分条件) 则 为极大值 (极小值) 3. 极值的充分条件 . ) , ( 0 o 0 内可导 的某去心邻域 d x U x 极值的一阶充分条件 不是极值点 则 不是极值. 一般求极值的步骤 求导数; 求驻点与不可导点; 求相应区间的导数符号,判别增减性; 求极值. (1) (2) (3) (4) 例 解 (1) (2) 驻点: 导数不存在的点: (3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性, 确定极值点和极值. 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点: 导数不存在的点: 单调增加区间: 单调减少区间: 定理3(第二充分条件) 极大值 (极小值). 极值的二阶充分条件 对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点. 证 因此, 当 充分小时, 由极限的保号性 可见, 与 异号. 所以, 第一充分条件 自己证极小值情形. 例 解 因为, 注 仍用第一充分条件 定理3(第二充分条件)不能 应用. 事实上, 可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, 分别属于上述三种情况. 例 解 所以, 第一充分条件 充分条件来判定有无极值; 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 可用第二充分条件判断有无极值. 运用第一、第二充分条件需要注意: 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 (1) (2) 则 定理4 极大 值. (小) 如, 则, 设 是方程 的一 解,若 且 则 在 (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 在某邻域内单调增加 (D) 在某邻域内单调减少 提示 得 A 利用方程, 代入 0 4 2 = + ￠ - ￠ ￠ y y y 二、最大值最小值问题 1.最值的求法 (1) 其中最大(小)者 求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小)值的方法: 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 区间端点的 就是 f (x) 最值必在端 (2) 点处达到. 点(即为极值嫌疑点)处的函数值和 函数值 f (a), f (b)比较, 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, 例 解 因 驻点: 导数不存在的点: