北京林业大学《高等数学B》李扉-3-7.PPTVIP

第七节 曲 率 弧微分 曲率及其计算公式 曲率圆与曲率半径 (curvature) (arc element) 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、弧微分 为了得出曲线 y = f (x) 的曲率公式, 先计算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分. 设函数 f (x)在区间(a, b) 内具有连续导数. 基点: ⌒ 规定 (1) 曲线的正向与x增大的方向一致; ⌒ 当AM 的方向与 曲线正向一致时, 单调增函数. 如图， 弧 s 的增量为 那末 于是 取极限, 即 又 得 弧微分公式 为单调增函数, 如将 弧微分公式 如曲线为参数方程 写到根式内,得 代入公式,得 可化为参数方程形式 如曲线以极坐标方程给出 是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量. 弧段弯曲程度 越大 转角相同弧段 越短 1. 曲率的定义 曲率 转角越大 弯曲程度大 二、曲率及其计算公式 设曲线C是光滑的， ⌒ 定义 曲线C 在点M处的曲率为 （ 平均曲率为 存在的条件下, (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 注 2. 曲率的计算公式 二阶可导, 由公式 例 解 显然, 为抛物线的顶点, ∴ 抛物线在顶点处的曲率最大. K最大. 定义 (circle of curvature) 三、曲率圆与曲率半径 使 曲率圆. 曲率中心, 曲率半径. 设曲线 y = f (x) 在点 M(x, y)处的曲率为K (K≠ 0). 在点M处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 以D为圆心, 为半径作圆(如图). 称此圆为曲线在点M处的 (1) 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 (2) 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 (3) 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点 注 曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲). 的曲率越小(曲线越平坦); 附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似). 曲率互为倒数, 即 基本概念: 弧微分, 曲率, 曲率圆,曲率中心,曲率半径; 研究曲线的弯曲程度: 曲率; 四、小结 基本计算: 弧微分, 曲率; 曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近 曲线弧,使问题简化. 思考题 的曲率最小？ t为何值时, 曲线 求出最小曲率, 写出该点的曲率半径. 解 要使K(t)最小, 等价于 最大, 故当 即 曲率最小, 且 , | 2 sin | 4 1 t a | 2 sin | t , 1 | 2 sin | = t 作业 习题3-7(177页) 3. 5. * *