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分部积分公式 1. 原则: 2. 经验: 3. 题目类型 : 化简型; 循环型; 递推型. 三、小结 v要易求; 易求. “反对幂三指”的顺序, 前为 后为 分部积分 解 思考题 , ) ( 2 x e x f - 的一个原函数为 已知 ò ￠ x x f x d ) ( 求 ò - = x x f x f x d ) ( ) ( 第三节 分部积分法 分部积分公式 例 题 integration by parts 第四章 不定积分 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 特点 被积函数是两个不同函数的乘积 一、分部积分公式 ò = x x x d ln 分部积分公式 两边积分 具有连续导数. 恰当选取u和dv是一个关键, v要易求; 分部积分公式 选取u和dv的一般原则是: (1) (2) 易求. 例 求 解 显然, 法一 二、例 题 选择不当, 积分更难进行. , d sin d x x u - = 法二 例 求 解 （再次使用分部积分法） 例 求 解 例 求 解 化简型 注 利用 注 利用 可把 化为 例 求 解 u u dv u u dv 应用分部积分法时,可不明显地写出如何选取u、dv,而直接套用公式.(对较简单的情况) 注意循环形式 u u dv 求 例 求 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 求 解 u dv 循环型 循环型 求 使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为“幂三指”好积, 把被积函数视为两个函数的乘积,按 “反对幂三指”的顺序, 前者为 后者为 常用的方法: 自己简单.) 小结 “反对”的导数比它 分部积分公式 有时在用分部积分之前, 须先变形. 例 求 解 求 2002年考研数学三, 6分 解 令 则有 于是 在积分过程中常常兼用各种积分法. 曾用换元积分做过, 现可用分部积分做! 例 u 利用分部积分法可以得到一些递推公式: 例 试证递推公式 dv u 证 由分部积分法得 由此推出 利用这个递推公式及公式 递推型 如 递推型 递推公式,虽然积分没有具体求出来,但每用一次公式n就降低一次至两次,连续应用. 解 * *
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