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即 例 求 解 (属上述类型) 或 分项 分子分母同乘以 分项 (1) 尽量使分母简单. 基本思路 或分子分母同乘以某个 因子, 把分母化为 的单项式, 或将分母整个看成一项. (2) 尽量使 的幂降低. 用倍角公式或积化和差公式以达目的. 为此常利 解 法一 法二 分子分母同乘以 x tan d = 例 求 解 妙用 分项 1994年考研数学一, 5分 解 应重点提高计算的 (1) 部分分式法; 此法一般运算较繁. (2) 拆项法; (分项积分法) (3) 换元法; (4) 配方法. 有理函数积分是三角函数有理式积分、 无理函数积分的基础, 熟练程度和技巧, 一般有以下方法: 例 求 分析 解 原式= 分项 凑微分 从理论上看, 可用部分分式法, 但计算复杂, 故不宜轻易使用, 应尽量考虑其它方法. 约去公因子 配方 凑微分 约去公因子 配方 例 求 这是有理函数的积分. 如按部分分式法很麻烦. 使分母为单项, 分析 分母是100 次多项式, 如作一个适当的变换, 而分子为多项,除一下,化为和差 的积分. 解 原式= 作变换 或 分项 ò ò ò - + - - - = 100 99 98 ) 1 ( d ) 1 ( d 2 ) 1 ( d x x x x x x 技巧 例 求 解 原式= 2 1 C + 例 求 解 是二次质因式, 原式= 法一 不能再分解. 递推公式 解 原式= 回代 递推公式 法二 求 解 令 指数代换 求 求 求 三角有理式的定义: 由三角函数和常数经过 有限次四则运算 构成的函数称之. 一般记为 如 二、可化为有理函数的积分举例 1. 三角函数有理式的积分 和分部积分法讨论过一些. 对于三角函数有理式的积分, 曾用换元法 是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数 回答是肯定的. 由三角学知识 可通过变换 表示. 化为有理函数的积分. 事实上,由 半角变换(或称万能代换) 则 u的有理函数 例 求 解 由万能代换 回代 例 求 解 法一 回代 回代 法二 修改万能代换公式 令 说明 及 的有理式的积分时, 更方便. 用代换 通常求含 法三 不用万能代换公式 比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能代换. 结论 当三角函数有理式 即 具有某 种对称性时, 用下述变换较简单. 例 求 解 求 解 即 例 求 解 第四节 有理函数的积分 有理函数的积分 可化为有理函数的 积分举例 rational function 第四章 不定积分 基本积分法: 换元积分法; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 直接积分法; 例如,下列函数积分都不是初等函数 在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域 有重要应用的积分, 都属于“积不出”的范围. 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之. 一、有理函数的积分 n n n a x a x a + + + - L 1 1 0 m m m b x b x b + + + - L 1 1 0 假定分子与分母之间没有公因式 真分式; 假分式. n n n a x a x a + + + - L 1 1 0 m m m b x b x b + + + - L 1 1 0 例 多项式的积分容易计算. 真分式的积分. 只讨论: 多项式 真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分式 分解 若干部分分式之和 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用. 定理 上的 (一次和二次)质因式分解式为 部分分式(最简分式). 用此定理有理函数的积分就易计算了. 且由下面的例题可看出: 有理函数的积分是初等函数. 注 系数的确定,一般有三种方法: (1) 等式两边同次幂系数相等; (2) 赋值; (3) 求导与赋值结合使用. 例 求 解 由多项式除法,有 假分式 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分. 例 求 解 因式分解 比较系数 代入特殊值来确定系数 例 求 解 (1) 赋值 取 取 取 并将 值代入 (1) (1) 赋值 于是 例 求 解 比较系数 二次质因式 比较系数 注 任意有理真分式的不定积分都归纳为下列 其中A,B, a, p, q都为常数, 并设 四种典型部分分式的积分之和. n为大于1的正整数. 用递推公式 * *
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