北京林业大学《高等数学B》李扉-5-1.PPTVIP

解 令 于是 比较积分值 和 的大小. 例 性质5的推论1 证 如果在区间 则 于是 性质5 如果在区间 则 证 说明 性质5的推论2 性质5 如果在区间 则 可积性是显然的. 由推论1 证 (此性质可用于估计积分值的大致范围) 性质6 分别是函数 最大值及最小值. 则 解 估计积分 例 解 估计积分 例 性质7(定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 连续, 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立: 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理: 至少存在一点 使 即 定理用途 性质7(定积分中值定理） 如果函数 在闭区间 连续, 则在积分区间 至少存在一点 使下式成立: 如何去掉积分号来表示积分值. 注 无论从几何上, 还是从物理上, 都容易理解 平均值公式 求连续变量的平均值要用到. 解 例 定积分几何意义 求电动势 在一个周期上的 平均值 积分中值公式的几何解释 至少存在一点 在区间 使得以区间 为底边, 以曲线 为曲边的曲边梯形的 面积 等于同一底边而高为 的一个矩形的面积. 例 证 由积分中值定理有 (a为常数) ) ( n a n - + x∈[0,1] x∈[0,10] x∈[0,100] x∈[0,500] 六、小结 1. 定积分的实质: 特殊和式的极限. 2. 定积分的思想和方法: 以直代曲、以匀代变. 四步曲: 分割、 取近似、 求和、 取极限. 思想 方法 第五章 定积分 定积分和不定积分是积分学的两个 一种认识问题、分析问题、解决问题的 definite integral 不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 — 主要组成部分. 思想方法. 第五章 定积分 基本要求 理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法. 第一节 定积分的概念与性质 定积分问题举例 定积分的定义 关于函数的可积性 定积分的几何意义和物理意义 定 积 分 定积分的性质 * * * definite integral 1.曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出 求由连续曲线 一、定积分问题举例 来的, 现举两例. 用矩形面积 梯形面积． （五个小矩形） （十个小矩形） 思想 以直代曲 显然,小矩形越多, 矩形总面积越接近曲边 近似取代曲边梯形面积 采取下列四个步骤来求面积A. (1) 分割 (2) 取近似 长度为 为高的小矩形, 面积近似代替 n i x f A i i i L , 2 , 1 , ) ( = D ? D x 有 , i A D (3) 求和 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形 面积A的近似值. (4) 求极限 为了得到A的精确值, 取极限, 形的面积: 分割无限加细, 极限值就是曲边梯 2.求变速直线运动的路程 思想 以不变代变 设某物体作直线运动, 已知速度 是时间间隔 的一个连续函数, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上 速度看作不变, 求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值． (1) 分割 (3) 求和 (4) 取极限 路程的精确值 (2) 取近似 表示在时间区间 内走过的路程. 某时刻的速度 二、定积分的定义 设函数f (x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入 定义 若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间, 各小区间长度依次为 在各小区间上任取 一点 作乘积 (1) (2) 上两例共同点: 2) 方法一样; 1) 量具有可加性, 3) 结果形式一样. 并作和 记 如果不论对 (3) (4) 怎样的分法, 也不论在小区间 上点 怎样的取法, 只要当 和S总趋于确定的 极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的 定积分. 被积函数 被积表达式 记为 积分和 积分下限 积分上限 积分变量 [a,b]积分区间 有关; 注 无关. (2) 的结构和上、下限, 今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理. 定积分是一个数, 定积分数值只依赖于被积函数 而与积分变量的记号无关. 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 1. 几何意义 三、定积分的几何意义和物理意义 几何意义 各部分面积的代数和. 取负号. 它是介于x轴、函数 f (x) 的图形及两条 直线 x =a, x = b之间的 在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积 例 解 2. 物理意义 t = b所经过的路程 s. o x y 作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻 定