北京林业大学《高等数学B》李扉-5-3.PPTVIP

分析 定积分的分部积分公式 二、定积分的分部积分法 设 有连续的导数, 则 definite integral by parts 定理2 由不定积分的分部积分法 及N--L公式. 例 解 原式= 例 解 1990年考研数学(一)计算5分 原式= 例 解 无法直接求出 所以 因为 没有初等原函数, 分析 被积函数中含有“积分上限的函数”, 用分部积分法做. 选择积分上限的函数为 注 今后也可将原积分化为二重积分计算. 例 证明定积分公式 n为正偶数 n为大于1的正奇数 J.Wallis公式 十七世纪的英国数学家 John Wallis 给出. 证 设 x x x n n d cos sin ) 1 ( 2 0 2 2 ò × - + - p 0 ò - - = - x x n I n n d sin ) 1 ( 2 2 p 积分 关于下标的递推公式 直到下标减到0或1为止 因为 0 ò - - = - x x n I n n d sin ) 1 ( 2 2 p 所以, 当n为正偶数时, 当n为大于1的正奇数时, 例 为正偶数 为大于1的正奇数 上公式在计算其它积分时可以直接引用. 注 0 = = ò ò x x x x d cos d sin 2 7 2 0 7 p p 10 9 例 解 用公式 n为正偶数 t t x d cos 2 d = t t d cos 2 × 解 用定积分的分部积分公式 第三节 定积分的换元法 和分部积分法 定积分的换元法 定积分的分部积分法 definite integral by parts definite integral by substitution 第五章 定积分 上一节的牛—莱公式将定积分的计算 的形式, 而不定积分可用换元法 和分部积分法求积 , 这样定积分的计算问题 已经比较完满地解决了. 归结为求不定积分, 如果将换元法和分部积分法写成定积分 常可使得计算更简单. 定理1 则有 定积分换元公式 假设函数 一、定积分的换元法 函数 满足条件: (1) (2) 具有连续导数, 且其值域 definite integral by substitution ; ) ( , ) ( b a = = b j a j ) ( t x j = 证 则 由于 N--L公式 N--L公式 所以存在原函数 原函数, 故有 则 注 由于积分限做了相应的 故积出来的原函数不必回代; 求定积分的方法有两种方法: ?可用N--L公式; ?从换元的观点. (1) 换元公式仍成立; (2) 在定积分换元公式中, 改变, (3) 例 解 在用“凑”微分的方法时, 不明显地写出 下限就不要变. 定积分的上、 新的变量 t , 注 或 例 解 原式 这是半径为a的四分之一的圆的面积. 例 解 原式 解 令 原式 几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子. 换元积分 由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换. 通常 还可以证明一些定积分等式, 例 证 由于 作变换, 则 利用这一结果计算: ò ò - - + = \ a a a x x f x f x x f 0 d )] ( ) ( [ d ) ( 可得: 由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得. 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 且有 则 则 ò ò - - + = a a a x x f x f x x f 0 d )] ( ) ( [ d ) ( 由 例 奇 - x x x d | | 1 2 ） 1 ò （ ò + 2 1 2 1 1 d x x 奇 偶 x x x x x x d 1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 3 4 5 ò - + - - - + x x x x d 1 2 2 2 2 2 4 ò - + - - + 三角函数的定积分公式 例 由此计算 证 (1) 设 证毕. ò ú ? ù ê ? é ÷ ? ? ? è ? - - = t t f d 2 sin p ò 2 0 d ) (sin p x x f 由此计算 设 证 由此计算 ò - - - = t t f t d )] [sin( ) ( p p ò p p 0 d ) (sin 2 x x f 计算 说明: 尽管 但由于它没有 初等原函数, 故此积分无法直接用N--L公式求得. 周期函数的定积分公式 这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的 区间上的定积分都相等. 证明：